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数学学习三十六计

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数学学习三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:13 pm

第1计 芝麻开门 点到成功

●计名释义
七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性. 因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范
[例题] (2006年鄂卷第15题)将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
,其中 .
令 ,则 .

[分析] 一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物. 从何处破门呢?我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点 的主意.

[解Ⅰ] 将等式 与右边的顶点三角形对应(图右),自然有
对此,心算可以得到:n =1,r =0,x=1
对一般情况讲,就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

[插语] 本题是填空题,只要结果,不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出x = r+1.
第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项 .

[解Ⅱ] 在三角形中先找到了数列首项 ,并将和数列 中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an . 这个an,就等于首项 左上角的那个 . 因为 在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.

[点评] 解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数 ,采用的方法是以点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数 就是问题的答案.
事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质. 例如从 这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和(的极限)就是 这个数的左上角的那个数 . 用等式表示就是

[链接] 本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
[法1] 由 知,可用合项的办法,将 的和式逐步合项.





[法2] 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为 ,故 ,从而

[法3] (2)将 代入条件式,并变形得
取 令 得

… … …

以上诸式两边分别相加,得
[说明] 以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练
1.如图把椭圆 的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .

●参考解答
1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知,本题的答案是70的一半即35.
2.找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示,令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合,动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然 V棱柱.
∴ ∶ =
于是奇兵天降——答案为 .
[点评] “点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局. 这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.

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张浩东
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