高中学习交流论坛
Would you like to react to this message? Create an account in a few clicks or log in to continue.
三月 2024
周一周二周三周四周五周六周日
    123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

日历 日历

投票
RSS


Yahoo! 
MSN 
AOL 
Netvibes 
Bloglines 


登录

找回我的密码


数学学习三十六计

向下

数学学习三十六计 Empty 数学学习三十六计

帖子 由 张浩东 周五 十二月 25, 2009 7:13 pm

第1计 芝麻开门 点到成功

●计名释义
七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”,讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中,以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等,这些足以说明“点”的重要性. 因此,以点破题,点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范
[例题] (2006年鄂卷第15题)将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ,就得到一个如下图所示的分数三角形,称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
,其中 .
令 ,则 .

[分析] 一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是个庞然大物. 从何处破门呢?我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点 的主意.

[解Ⅰ] 将等式 与右边的顶点三角形对应(图右),自然有
对此,心算可以得到:n =1,r =0,x=1
对一般情况讲,就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

[插语] 本题是填空题,只要结果,不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析,而是以点带面,点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数,都等于对应的“脚下”两数之和,所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形,都能解出x = r+1.
第2道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项 .

[解Ⅱ] 在三角形中先找到了数列首项 ,并将和数列 中的各项依次“以点连线”(图右实线),实线所串各数之和就是an . 这个an,就等于首项 左上角的那个 . 因为 在向下一分为二进行依次列项时,我们总是“取右舍左”,而舍去的各项(虚线所串)所成数列的极限是0.
因此得到 这就是本题第2空的答案.

[点评] 解题的关键是“以点破门”,这里的点是一个具体的数 ,采用的方法是以点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数 就是问题的答案.
事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质. 例如从 这个数开始,向左下连线(无穷射线),所连各数之和(的极限)就是 这个数的左上角的那个数 . 用等式表示就是

[链接] 本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有4分的小题,而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.
[法1] 由 知,可用合项的办法,将 的和式逐步合项.





[法2] 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即 根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项 ,则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和,结合给出的数表可逐次向上求和为 ,故 ,从而

[法3] (2)将 代入条件式,并变形得
取 令 得

… … …

以上诸式两边分别相加,得
[说明] 以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门,点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练
1.如图把椭圆 的长轴AB分成8份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,…,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.
2.如图所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,P,Q分别是侧棱AA1,CC1上的点,且A1P=CQ,则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为 .

●参考解答
1.找“点”——椭圆的另一个焦点F2.
连接P1F2 、P2F2 、…、P7F2,由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10
如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70
由椭圆的对称性可知,本题的答案是70的一半即35.
2.找“点”——动点P、Q的极限点.
如图所示,令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合,动点Q与C重合.
则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B,四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .
显然 V棱柱.
∴ ∶ =
于是奇兵天降——答案为 .
[点评] “点到成功”的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制约全局. 这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字,既是名词,又是动词,是“点亮”和“亮点”的合一.
张浩东
张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
威望值 : 268685
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 32
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
数学学习三十六计 Left_bar_bleue7000/10000数学学习三十六计 Empty_bar_bleue  (7000/10000)
个人:

返回页首 向下

返回页首


 
您在这个论坛的权限:
不能在这个论坛回复主题