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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:14 pm

第2计 西瓜开门 滚到成功

●计名释义
比起“芝麻”来,“西瓜”则不是一个“点”,而一个球. 因为它能够“滚”,所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面,在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容,二是思想方法. 基本的数学思想并不多,只有五种:①函数方程思想,②数形结合思想,③划分讨论思想,④等价交换思想,⑤特殊一般思想. 数学破题,不妨将这五种思想“滚动”一遍,总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范
[题1] (2006年赣卷第5题)
对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f (x)0,则必有
A. f(0)+f(2)< 2f(1) B. f(0)+f(2)≤2 f(1)
C. f(0)+f(2)≥ 2f(1) D. f(0)+f(2)2f(1)

[分析] 用五种数学思想进行“滚动”,最容易找到感觉应是③:分类讨论思想. 这点在已条件(x-1)f'(x)≥0中暗示得极为显目.
其一,对f'(x)有大于、等于和小于0三种情况;
其二,对x-1,也有大于、等于、小于0三种情况.
因此,本题破门,首先想到的是划分讨论.

[解一] (i)若f'(x) ≡ 0时,则f(x)为常数:此时选项B、C符合条件.
(ii)若f'(x)不恒为0时. 则f'(x)≥0时有x≥1,f(x)在 上为增函数;f'(x)≤0时x ≤1. 即f(x)在 上为减函数. 此时,选项C、D符合条件.
综合(i),(ii),本题的正确答案为C.

[插语] 考场上多见的错误是选D. 忽略了f'(x) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f'(x) ≥0中等号成立的条件只是x-1=0,其实x-1=0与f'(x)=0的意义是不同的:前者只涉x的一个值,即x=1,而后是对x的所有可取值,有f'(x) ≡ 0.

[再析] 本题f(x)是种抽象函数,或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支中,又是一些具体的函数值f(0),f(1),f(2). 因此容易使人联想到数学⑤:一般特殊思想.

[解二] (i)若f'(x)=0,可设f(x)=1. 选项B、C符合条件.
(ii)f'(x)≠0. 可设f(x) =(x-1)2 又 f'(x)=2(x-1).
满足 (x-1) f'(x) =2 (x-1)2≥0,而对 f (x)= (x-1)2. 有f(0)= f(2)=1,f(1)=0
选项C,D符合条件. 综合(i),(ii)答案为C.

[插语] 在这类f (x)的函数中,我们找到了简单的特殊函数(x-1)2. 如果在同类中找到了(x-1)4 ,(x-1) ,自然要麻烦些. 由此看到,特殊化就是简单化.

[再析] 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始终,如由f (x)= 0找最值点x =0,由f (x)>0(<0)找单调区间,最后的问题是函数比大小的问题.
由于函数与图象相联,因此数形结合思想也容易想到.

[解三] (i)若f (0)= f (1)= f (2),即选B,C,则常数f (x) = 1符合条件. (右图水平直线)
(ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线),但不满足条件(x-1) f (x)≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C,D(右图下拱曲线). 则满足条件(x-1) f (x)≥0.

[探索] 本题涉及的抽象函数f (x),没有给出解析式,只给出了它的一个性质:(x-1) f (x)≥0,并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然,有这种性质的具体函
数是很多的,我们希望再找到一些这样的函数.

[变题] 以下函数f (x),具有性质(x-1) f (x)≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f(x)= (x-1)3 B. f(x)= (x-1) C. f(x)= (x-1) D. f(x)= (x-1)

[解析] 对A,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求;对B,f (0)无意义;
对C,f (0)= -1, f (2) =1,f (1)=0,不符合要求;
答案只能是D. 对D, f (0)= 1, f (1) =0,f (2)=1.
且f (x)= (x-1) 使得 (x-1) f'(x) =(x-1) (x-1) ≥0.
[说明] 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f(x)=(x-1) ,其中m,n都是正整数,且n≥m.

[点评] 解决抽象函数的办法,切忌“一般解决”,只须按给定的具体性质“就事论事”,抽象函数具体化,这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

[题2] 已知实数x,y满足等式 ,试求分式 的最值。
[分析] “最值”涉及函数,“等式”连接方程,函数方程思想最易想到.
[解一] (函数方程思想运用)
令 y = k (x-5) 与方程 联立
消y,得:
根据x的范围 应用根的分布得不等式组:

解得 即 ≤ ≤ 即所求的最小值为 ,最大值为 .

[插语] 解出 ≤ ≤ ,谈何易!十人九错,早就应该“滚开”,用别的思想方法试试.

[解二] (数形结合思想运用)
由 得椭圆方程 ,
看成是过椭圆上的点(x,y),(5,0)的直
线斜率(图右).
联立 得
令 得 ,故 的最小值为 ,最大值为 .
[插语] 这就是“滚动”的好处,解二比解一容易多了. 因此,滚动开门,不仅要善于“滚到”,还要善于“滚开”.

[点评] “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时,要打破思维固化,在思想方法上要“滚动”,在知识链接上要“滚动”,在基本技能技巧上也要“滚动”. 总之,面对考题,在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y),且lgy,lg|x|,lg 成等差数列,则动点P的轨迹应为图中的 ( )








2.函数y=1- (-1≤x<0)的反函数是 ( )
A.y=- (0C. y=- (-1≤x<0) D. y= (-1≤x<0)
3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )
A.b2≤ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0

●参考答案
1.【思考】 利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像,选项D中无x>0的图像,均应否定;当x=y∈R+时,lg 无意义,否定A,选C.
【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用,滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是:当x≠0且y>x时,由lgy+lg =2lg|x|,化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x或y=2x(x≠0,y>0).
2.【思考】 分析各选项,仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别,所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.
原函数定义域为-1≤x<0,∴其反函数值域为-1≤y<0,排除B、D.
∵原函数中f(-1)=1,∴反函数中f-1(1)=-1,即x=1时f-1(x)有定义,排除C,∴选A.
3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故C、D皆假.
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.
解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.
令f(x)=ax2+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b2-4ac>0,即b2>ac,故选B.
【点评】 在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:
4b<4a+c, ①
2b<-a-c, ②
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动使用,简便明快,如解析一.用判别式法逻辑性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题解题速度变快,推荐学生使用解析一.

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张浩东
【解元】
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男 双鱼座 猴
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