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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:16 pm

第3计 诸葛开门 扇到成功

●计名释义
诸葛亮既不会舞刀,也不会射箭,他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子,借东风也是用扇子. 有人把“借东风”的意思弄肤浅了,以为东风就是东边来的风,其实,这里真正所指是“东吴”的风. 在赤壁大战中,刘备哪是曹操的对手,后来能把曹兵打败,借的就是东吴的力量.
数学解题的高手们,都会“借力打力”,这就是数学“化归转换思想”的典型应用.

●典例示范
[题1] 已知f (x)= 试求 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )的值.
[分析] 若分别求f (x)在x= -5,-4,…,0,…,6时的12个值然后相加. 这不是不行,只是工作量太大,有没有简单的办法?我们想“借用”等差数列求和时“倒序相加”的办法. 于是,我们关心f (x)+f (1-x)的结果.

[解析] 因为 f (x)+ f (1-x) =
=
=
所以 f (-5 )+ f (-4 )+…+ f (0 )+…+ f (6 )
= [(f (-5 )+ f (6 ))+(f (-4)+ f (5 ))+…+(f (6 )+ f (-5 ))]
= [f (1-x )+ f (x )]×6 =

[点评] 这里,“借来”的不是等差数列本身的性质,而是等差数列求和时曾用过的办法——倒序相加法.

●对应训练
1.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1(α、β、γ均为锐角),那么cosαcosβcosγ的最大值等于 .
2.求已知离心率e= ,过点(1,0)且与直线l:2x-y+3=0相切于点P(- ),长轴平行于y轴的椭圆方程.
3.若椭圆 (a>0)与连结A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共点,求a的取值范围.

●参考答案
1. 命sin2α=sin2β=sin2γ= ,则cos2α=cos2β=cos2γ= .α、β、γ为锐角时,cosα=cosβ=cosγ= .
∴cosαcosβcosγ= .
(注:根据解题常识,最大值应在cosα=cosβ=cosγ时取得).
2.解析 按常规,设椭圆中心为(x0,y0),并列出过已知点P的切线方程,联立消参可求得椭圆方程.
若借极限思想,将点椭圆视为椭圆的极限情况,则可简化运算过程.
已知e= ,则a2=5b2.设长轴平行于y轴且离心率e= 的椭圆系为
(x+ ,把点P(- 看做当k→0时的极限情形(点椭圆),则与直线l:2x-y+3=0相切于该点的椭圆系即为过直线l与“点椭圆”的公共点的椭圆系方程:
(x+
又所求的椭圆过(1,0)点,代入求得λ=- .
因此所求椭圆方程为x2+ =1.
点评 将点椭圆视为椭圆的极限情况处理问题,减少了运算量,简化了运算过程.
3.解析 若按常规,需分两种情况考虑:
①A,B两点都在椭圆外;
②A,B两点都在椭圆内.
若借用补集思想则避免了分情况讨论,使计算简洁.
设a的允许值的集合为全集I={a|a∈R,a>0},先求椭圆和线段AB有公共点时的取值范围.
易得线段AB的方程为y=x+1,x∈[1,3],
由方程组 ,x∈[1,3],
a2的值在[1,3]内递增,且x=1和x=3时分别得a2= 或a2= ,故 ≤a2≤ .
∵a>0,∴ ≤a≤ .
故当椭圆与线段AB无公共点时,a的取值范围为0 .

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张浩东
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