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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:17 pm

第5计 才子开门 风情万种

●计名释义
所谓才子,就是才思繁捷的弟子. 数学才子,也像画学才子一样,胡洒乱泼,墨皆成画. 这里,人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来,科学的规律,艺术的工夫,全藏肘后. 别人肩上的重负,移到他的掌上,都成了玩意儿.

●典例示范
[引例] 试比较以下三数的大小: , ,

[解一] 建构函数法
设f (x) = f'(x)= ln ≤0 f (x)为减函数 > >

[旁白] 才子一看,发现是个错解,于是有以下的评语.

[评语] 学了导数可糟糕,杀鸡到处用牛刀,单调区间不清楚,乱用函数比大小.

[解二] 作差比较法
- = <0
- = >0

[旁白] 才子一看,答案虽是对的,但解题人有点过于得意,因此得到以下评语.

[评语]解题成本你不管,别人求近你走远,作差通分太费力,面对结果向回转.

[旁白] 大家听才子这么说,纷纷要求才子本人拿出自己的解法来,于是有了以下的奇解.
[奇解] × = <1 × = >1 > >

[旁白] 大家一看,十分惊喜,但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.

[自评] 标新本来在立意,别人作商我作积,结果可由心算出,不用花费纸和笔.

[旁白] 这时,上面那位提供解法一的人有点不服气:难道“求导法”就不能解出此题吗?
才子回答:当然能!不过需要“统一单调区间”,请看下解
[正解] f (x) = f'(x)= ln <0 (x≥3)
> > > >

[旁白] 大家一看,齐声说妙,要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.

[评语] 因为数3比e大,单调区间从3划,数4也在本区间,故把数2搬个家.


【例1】 已知向量a=( ,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a•b= ,则b= ( )
A.( , ) B.( , ) C.( ) D.(1,0)
【特解】 由|b|=1,排除C;又b与x轴不平行,排除D;易知b与a不平行,排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单,但想时不易,要看出向量b与A( )是平行向量,一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量,可排除C、D两项. 又a•b= ,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算,真是淘尽黄沙始是金啊!
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a•b=( ,1)•(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)= 在区间(0,π)上解α得:α=60°.
故b=( ).
【评说】 本题涉及解三角方程,并确定解答区间,这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在( a,
选C者,误在|( )•a|=1.
选D者,没有考虑到(1,0)与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计,其质量很高,各有各的错因,相信各有各的“选择人”.

●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x•f(x)<0}等于 ( )
A.{x|x>3或-3C.{x|x>3或x<-3} D.{x|02.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)

●参考答案
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手,结合其草图即可写出所求答案.
解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图(1)),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x•f(x)<0的解集为{x|0







(1) (2)

解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图(2)),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x•f(x)为偶函数,∴不等式x•f(x)<0的解集关于原点对称,故先解 借助图象得0解析三 借助图(1)或图(2),取特殊值x=2,知适合不等式x•f(x)<0,排除A、C;又奇•奇=偶,∴x•f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.
【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.
奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)•奇(偶)=偶.
数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.
2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C,D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.
【通解】 考查有条件限制的排列问题,其中要求部分元素间的相对顺序确定:据题意由于丁必须在丙完成后立即进行,故可把两个视为一个大元素,先不管其它的限制条件,使其与其他四人进行排列共有A 种排法,在所有的这些排法中,甲、乙、丙相对顺序共有A 种,故满足条件的排法种数共有 =20.
【正解】 5个元素设作A,B,(C,D),x,y.将排列种数分两类:
第一类,x,y相连,在A,B,(C,D)之间或两头插位,有2C =8种方法.
第二类,x,y不连,在A,B,(C,D)之间或两头插位,有2C =12种方法.
【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分;后分步:第1步组合,第2步排列,也是完全划分.
【另解】 5个元素设作A,B,(C,D),x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.
第1步考虑元素x到位,有5种可能;
第2步考虑元素y到位,有4种可能;
第3步,A,B,(C,D)按顺序到位,只1种可能.
由乘法原理,方法总数为5×4=20种.
【评说】 “另解”比“正解”简便,但思维要求高.在元素x和y已到位之后,在留下的3个位置上,A,B,(C,D)按序到位情况只1种.——这点,一般学生不易想通.
【别解】 设所求的排法总数为x种,在每1个排好的队列中,取消A,B,(C,D)3元素的限序,则有xP3=P5 x= =5×4=20.
【评说】 别解也是“想得好,算得省”,用的是乘法原理P5=5P4=20P3.

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张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
威望值 : 169435
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
个人:

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