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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:18 pm

第6计 勇士开门 手脚咚咚
●计名释义
一个妇女立在衙门前的大鼓旁边,在哭. 一勇士过来问其故.妇女说:“我敲鼓半天了,衙门还不开.”
勇士说:“你太斯文,这么秀气的鼓捶,能敲出多大声音?你看我的!”说完,勇士扑向大鼓,拳打脚踢. 一会儿,果然衙门大开,衙役们高呼:“有人击鼓,请老爷升堂!”
考场解题,何尝不是如此:面对考题,特别是难题,斯文不得,秀气不得,三教九流,不拘一格. 唯分是图,雅的,俗的,一并上阵.

●典例示范
【例1】 已知x,y∈ , a∈R,且 , 则cos (x+2y)的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【思考】 代数方程中渗入了三角函数,不可能用初等方法“正规”地求出它的解.但两个方程有较多的形似之处,能否通过适当的变形使之由“形似”到“神似”呢?
解:由条件得:
∴x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根 .
【插语】 这是勇士之举,采用手脚并用,谁会想到用方程根来解决它呢?
设f (t)=t3+sint-2a. 当t∈ 时, 均为增函数,而-2a为常数.∴ 上的单调增函数.
∵f (x)= f (-2y)=0.
∴只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 选B.
【点评】 想到方程根使所给2个式子合二为一,是本题一个难点之一;判断函数是单调函数又是一个难点.

【例2】 已知向量a= (cosθ,sinθ),向量b=( ,-1) , 则 |2a - b| 的最大值、最小值分别是 ( )
A.4 ,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0
【解答】 如图,点A(cosθ,sinθ)在圆 上运动时,延OA到C,使 = =2a, 求 的最值,
显然 .当 与
反向时有最大值4, 与 同向时有
最小值0. ∴选D.
【点评】 本例选自04•湖南卷6(文),
解题思想很简单,谁不知道“三角形两边
之和大于第三边,两边之差小于第三边”呢, 例2题解图
为求极值,我们的勇士勇敢地到极地——当
△BOC不复存在时,才有可能取得.

【例3】 设f (x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0,且g(-3)=0, 则不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3)
C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3)
【解答】 设F(x)= f (x)g(x), 当x<0时,∵F′(x)= f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0.
∴F(x)在R上为增函数.
∵F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)•g (x).=-F(x).
故F(x)为(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数.
∴F(x)在R 上亦为增函数.
已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.
构造如图的F(x)的图象,可知
F(x)<0的解集为x∈(-∞,-3)∪(0,3).
【点评】 本例选自04•湖南卷12题,
是小题中的压轴题,显然,不懂得
导数基本知识对待本例是无能为力的,高中 例3题解图
代数在导数中得到升华,导数也是初数的“极地”.本题还构造了图形,使问题更有说服力.

●对应训练
1.下列命题正确的是 ( )
A.若{an}和{bn}的极限都不存在,则{an+bn}的极值一定不存在
B.若{an}和{bn}的极限都存在,则{an+bn}的极限一定存在
C.若{an+bn}的极限不存在,则{an}和{bn}的极限都一定不存在
D.若{an+bn}的极限存在,则{an}和{bn}的极限要么都存在,要么都不存在
2.过定点M (-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是 ( )
A.03.若(1-2x )9展开式的第3项为288,则 的值是 ( )
A.2 B.1 C. D. 

●参考答案
1.D (正反推证)若{an+bn}:1,1,1,1,…的极限存在而推出{an}:0,1,0,1,0,1…,{bn}:1,0,1,0,1,0…,极限都不存在,但若{an}:1,1,1,1…,{bn}:0,0,0,0…,极限又都存在,故D正确,同理可排除A、B、C.
2.A (数形并用)如图,以C (-2,0)为圆心,
r=3为半径的⊙C交x、y正半轴于A(1,0),
B (0, ), 而M (-1, 0)在⊙C内部,
当N∈ 时,显然,kMN>kMA=0;
kMN 第2题解图
3.A T3=C (-2x)2=36 (2x)2=288, ∴2 2x=8, x= , = ∈(0,1).
∴数列{ }是首项与公比均为 的无穷递缩等比数列.原式= =2. 选A.

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张浩东
【解元】
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