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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:19 pm

第7计 模特开门 见一知众
●计名释义
一时装模特,在表演时,自己笑了,台下一片喝彩声. 她自感成功,下去向老板索奖. 谁知老板不仅没奖,反而把她炒了. 冤枉不?不冤枉!模特二字,特是幌子,模是目的.
模特表演是不能笑的. 试想,模特一笑,只能显示模特本人的特色,谁还去看她身上的服装呢?所以,模特一笑,特在模掉!
数学的特殊性(特值)解题,既要注意模特的特殊性,更要注意模特的模式性(代表性),这样,才能做到“一点动众”. 特值一旦确定,要研究的是特值的共性.
选择题中的“特值否定”,填空题中的“特值肯定”,解答题中的“特值检验”,都是“一点动众”的例子.

●典例示范
【例1】 如果0(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0
C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1
【思考】 本题关键点在a,我们一个特殊数值,作为本题的模特.
令a= ,各选项依次化为: ( )
A. B.
C. D.
显然,有且仅有A是正确的,选A.
【点评】 本题是一个选择题,因此可以选一个模特数代表一类数,一点动众.
你还需要讲“道理”吗? 为减函数,log 0,B不对; 也是减函数, ,D不对;直接计算,C也不对;只有A是对的.

【例2】 已知定义在实数集R上的函数y=f (x)恒不为零,同时满足:f (x+y)=f (x)•f (y),且当x>0时,f (x)>1,那么当x<0时,一定有 ( )
A.f (x)<-1 B.-11 D.0【思考1】 本题是一个抽象函数,破题之处在于取特殊函数,一点动众.
设f (x)=2x, 显然满足f (x+y)=f (x)•f (y) (即2x+y =2x•2y), 且满足x>0时,f (x)>1,根据指数函数的性质,当x<0时,0<2x<1.即0< f (x)<1. 选D.
【点评】 题干中的函数抽象,先选定特殊的指数函数使之具体,而指数函数无穷无尽地多,索性再特殊到底,选定最简单且又符合题意的函数y=2x, 这就是我们这题的模特,结果是轻而易举地找出了正确答案.在考场上分分秒秒值千金,你还愿意纠缠在“为什么”上无谓地牺牲自己宝贵的时间吗?
【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = [f (0)2 ( f (x)≠0), 则f (0)=1,
f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即 , 当x<0时,-x>0.
由条件:f (-x)>1, 故x<0时, 0< f (x)<1.

【例3】 若A, B, C是△ABC的三个内角,且AA.sinA【思考】 本题的模特是取特殊角. 令A=30°, B= 45°,C=105°, 则cosC<0,tanC<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故选A.
【点评】 此题用常法论证也不难,但是谁能断言:本解比之常法不具有更大的优越性呢?

●对应训练
1.设f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 则f (x)的反函数的解析式是 ( )
A. B.
C. D.
2.下列命题中,命题M是命题N的充要条件的一组是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知两函数y= f (x)与y=g(x)的图像如图(1)所示,则y= f (x)•g(x)的大致图像为( )








第3题图(1)
第3题图(2)


●参考答案
1.B 取特殊的对称点. ∵f (0)=1, ∴(0,1)在f (x)的图像上,(1,0)在f (x)的图像上,将(1,0)代入各选项,仅B适合, ∴选B.
点评 题干和选项都那么复杂,解法却如此简明.你能发现(0,1).就能找出(1,0),解题就需要这种悟性,说到底,还是能力.
2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A;B、C都不能倒推,条件不必要.
3.B 取特殊的区间. 由图像知f (x)为偶函数(图(1)中图像关于y轴对称),g(x)为奇函数(图(2)中图像关于原点对称). ∴y= f (x)•g(x)为奇函数,其图像应关于原点对称,排除A、C,取x∈(-2,-1), 由图(1)知f (x)>0,由图(2)知g(x)<0,故当x∈(-2, -1)时,应有y= f (x)•g(x)<0. 选B.
点评 无须弄清图(1)、图(2)到底表示什么函数,不必要也不可能仅凭已有的图像信息去“精确描绘”y=f (x)•g(x)的图像.只须鉴别四类图像哪一个符合题意,选定特殊区间(-2,-1)一次检验即解决问题.

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张浩东
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