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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:21 pm

第9计 瞎子开门 伸手摸缝

● 计名释义
命题人本来为解题人设计了“题门”,即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲,他不是在看,而是用手去摸.在摸的过程中,他没有能力关心整个大门,而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝,他便将手伸到门的后面,轻轻地把门闩拉掉,题门也就随之开了.

●典例示范
[例题](2005年鄂卷第22题)
已知不等式 ,其中n为大于2的整数, 表示不超过 的最大整数 设数列{ }的各项为正,且满足 ,
(Ⅰ)证明: , ;
(Ⅱ)猜测数列{ }是否有极限?如果有,写出极限的值;
(Ⅲ)试确定一个正整数N,使得当n>N时,对任意b>0,都有
[分析] 此题有3扇门,即题问(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ).用手去摸,发现(Ⅱ)是个门缝,因为(Ⅱ)最轻便:一是“猜”,二是“写出”(不要求说道理).
于是,可以把手伸到(Ⅰ)的后面,把(Ⅱ)当作门闩抽掉.
[解Ⅱ] 因为0 < an < 而后者的极限是0,所以an的极限是0.
[插语] 解(Ⅱ)之时,承认并利用了(Ⅰ)的结果.
[评说] 这么难的压轴题,竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下(Ⅰ),而(Ⅱ)的分数却已经拿到手了.
拿下(Ⅱ)之后,可以直抓后面的(Ⅲ).既然an→0,那么要它an< ,那就解不等式求N罢了.这时,仍然可以把(Ⅰ)的结果当作已知.
[解Ⅲ] (放大为了化简)
令 ,
故取N=1024,可使当n>N时,都有
[插语] (Ⅱ),(Ⅲ)已破,题门大开,回师攻(Ⅰ)形势更好.
[解Ⅰ] 问题简化为
已知:① ②
求证:③
[插语] 先抓住求证式③,其右边的分母中有变量 ,顺藤摸瓜,找到已知式①中的 ,不过它却在“分子”上.至此,快摸到问题(Ⅰ)的“门闩”.
[续解] 式③变为
得式④ .
[插语] 式④即为题(Ⅰ)的门闩.
以下用式④与式②连接,从式②中变出 .
[续解] 由式②得
得式⑤
依次令n=2,3,4,……¬¬¬¬¬¬得

两边相加得 ⑤
代式① 于⑤
得 .这就是要证的式④.
从而证得式③: ,即问题(Ⅰ)得证.
[插语] 变③为④,用的是分析法.变①、②为⑤,用的是综合法.
条件(①,②)不等式(③)的证明,经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.
[评论] 本题是一道难度很高的压轴大题,“伸手摸缝”的策略,改变了命题人原来设定的解题顺序,即从(Ⅰ)到(Ⅱ)、再到(Ⅲ)的一般顺序.从而使得易解的(Ⅱ)成为该大题的“题缝”.
对于最难的题(Ⅰ),仍然采用了中间突破的办法,成功的关键也是从中找到了题(Ⅰ)的题缝: ,实际上,不等式的证明中,分析法与综合法的接头处,正是问题的题缝.

●对应训练
对以上例题第(Ⅰ)问改为如下的问题:
已知不等式 ,其中n为大于2的整数, 表示不超过 的最大整数 设数列{ }的各项为正,且满足 ,
(Ⅰ)设f(n)= ,用数学归纳法证明: ;
(Ⅱ)求证: , ;

●参考答案
[分析] 本题的(Ⅰ)、(Ⅱ)问,显然第(Ⅱ)问比第(Ⅰ)问容易.因此我们可以先解第(Ⅱ)问,这时必需把第(Ⅰ)问的结果当作已知——题门从后面拨开.
解(Ⅱ): 由已知不等式
得 ≤
解(Ⅰ): 设 ,利用数学归纳法证不等式

(ⅰ)当n=3时,由 ,
知不等式成立
(ⅱ)假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,即 ,则

即当n=k+1时,不等式也成立
由(ⅰ)(ⅱ)知,
[插语] 数学归纳法证题,在k到k+1之间,存在着一个“题缝”.从k正推,属综合法;由k+1反推,属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲,若在“接头处”遇上困难,可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”,以便逃脱阅卷人的苛求.
[说明] 这里的解答,把(Ⅱ)放在(Ⅰ)的前面,只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时,仍应把第(Ⅰ)问的解答放在前面,除非对(Ⅰ)没有解出.

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张浩东
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