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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:24 pm

第10计 聋子开门 慧眼识钟
●计名释义
一群人到庙里上香,其中有一个聋子,还有一个小孩.
上香完毕,发现小孩不见了.半天找不到影子后,大家来“问”这聋子.聋子把手一指,发现小孩藏在大钟底下,而且还在用手拍钟.大家奇怪,连我们都没有听见小孩拍钟的声音,聋子怎么听着了呢?
其实,大伙把事情想错了,聋子哪里听到了钟声,只是凭着他的亮眼,发现大钟底下是好藏小孩的地方.
聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子,据说,他所以能创立他的黎曼几何,主要受益于他的超人的直觉看图.
为了增强直觉思维,建议大家在解数学题时,不妨装装聋子,此时,难题的入口处,可能闪出耀眼的灯光.

●典例示范
【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a x2008(x∈R), 则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)
【思考】 显然a0=1, 且当x=1时,a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.
【点评】 本例的易错点是:必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.

【例2】 对于定义在R上的函数f (x),有下述命题:①若f (x)是奇函数,则f (x-1)的图象关于点A(1,0)对称;②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称;③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称,则f (x)是偶函数;④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .
【思考】 奇函数的图象关于原点对称,原点右移一单位得(1,0),故f (x-1)的图象关于点A(1,0)对称,①正确;f (x)= f[(x+1)-1]= f (x+2),只能说明f (x)为周期函数,②不对;f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴,故f (x)的图象关于y轴对称,即为偶函数,③正确;④显然不对,应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.
【点评】 本例的陷沟是:容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x),这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.

【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论:①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数;③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立,其中正确命题的序号是 (注:把你认为正确命题的序号都填上).
【解答】 由y (2x)2-y•2x-1=0.
关于2x的方程中,恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
∵y1=2x, y2= 都是R上的增函数,∴y=y1+y2=2x-2 也是R上的增函数,②真.
∵f (-x)=2 -2x = -(2x-2 )=-f (x),
∴当x∈R时,恒有f (x)+f (-x)=0(即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题,已出现了多项选择的苗头,其基本形式如本例所示,多选题中的正确答案可能都是,也可能不都是,还有可能都不是(这种形式多反映在选择题中,其正确答案为零个).由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况,往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策:不受选项多少的干扰,只要你能证明某项必真则选,否则即不选.
本例是“全选”(即“都是”)的题型.

●对应训练
1.设F是椭圆 的右焦点,且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…,组成公差为d的等差数列,则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中:a= , b= , c=1.
∴e = ,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|= (7-xi), 其中右准线x=7.
∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d= 
∵|x1-xn|≤2 , ∴|d|≤ . 已知n≥21, ∴|d|≤ , 但d≠0.
∴d∈[- ,0)∪(0, ].
点评:本题有两处陷沟,一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.

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张浩东
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