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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:25 pm

第13计 钥匙开门 各归各用
●计名释义
开门的钥匙应有“个性”,如果你的钥匙有“通性”,则将把所有的邻居吓跑.
所有的知识具有个性,一切犯有“相混症”的人,都因没有把握知识的个性.
数学知识的根基是数学定义,它的个性在于,只有它揭示了概念的本质,介定了概念的范畴,在看似模糊的边缘,它能判定是与非.
定义本身蕴含着方法,由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理,由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里,判定定理也好,方程也好,只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”,当你的问题本身离定义很近时,何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢?由此,引出了“回归定义”的解题之说.

●典例示范
【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点,|F1F2|=2c, 椭圆上的点P(x, y)到F1(-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为2a. 求证:|PF1|= |PF2|=
【分析】 一定要搬动椭圆方程吗?这里的已知条件只有c无b,而椭圆方程 却有b无c,搬动椭圆方程肯定是舍近求远.
【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式,结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组
②-③消y2, x2和c2得 r r ④
①,④联立,解得  故|PF1|= |PF2|=
【点评】 快捷,清晰,是因为此题的已知条件靠定义近,而离方程远.

【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使 成立的b的取值范围.
【思考】 应首先分清{an}是什么数列,再根据数列的性质与极限的定义解题.
【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时, a1=S1=1与 矛盾.
∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).
∴an(1-lgb)=-an-1lgb, = 为常数,{an}是首项为 公比q= 的无穷递缩等比数列(已知 存在),∴q= ∈(-1,0)∪(0,1).
由 >-1, 即 >0, 得lgb< 或lgb>1,
又 <0 0由0< <1 ∴b∈(0, 1)] ②
综合①、②,取并集,所求b的取值范围为b∈(0,1)∪(1, ).

【例3】 某商场为了促销,当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖,箱中有4只红球和3只白球,当抽到红球时奖励20元的商品,当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后,即将小球全部放回箱中).
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时,可抽取3个小球,求其中至少有一个红球的概率;
(2)当顾客购买金额超过1000元时,可抽取4个小球,设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60
,70,80)元,求ξ的概率分布和期望.
【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义,否则即使知道有
关计算公式也无法准确解题,例如:
(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)= , 其中m ,n分别表示
事件A发生的次数和基本事件总数;
(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件,由于A与 必有一个发生,故A与 既是互斥事件,又是对立事件,对立事件满足P(A)+P( )=1;
(3)离散型随机变量的期望,Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…, 这个概念的实质是加权平均数,期望反映了离散型随机变量的平均水平;
(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…,方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.
【解答】 (1)基本事件总数n=C =35, 设事件A={任取3球,至少有一个红球},则事件 ={任取3球,全是白球}.
∵A与 为对立事件,而Card =1(任取3球全是白球仅一种可能).
∴P( )= ,于是P (A)=1-P ( )=
即该顾客任取3球,至少有一个红球的概率为
(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= 
ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)=
于是ξ的分布列为:
ξ 50 60 70 80
P




∴Dξ=50× +60× +70× +80× = (元).
即该顾客获奖的期望是 ≈63(元).

●对应训练
1M为双曲线 上任意一点, F1为左焦点, 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.
2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆,这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相
切.
3在离散型随机变量中,证明其期望与方差分别具有性质:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.
4M为抛物线y2=2px上任意一点,F为焦点,证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案
1如图所示,MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|= |MF2|(中位线性质)
∴|PF1| - |PO|= (|MF1| - |MF2|)= •2a= a,
即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.
2如图所示,设M为椭圆上任一点,MF1为焦半径,MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.
则|OP|= |MF2|= (2a-|MF1|)= a-r
∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.








第1题解图 第2题解图
3.(1)∵Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn,
∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
= aEξ+b (∵p1+p2+…+pn=1).
(2)Dξ=(x1 - Eξ)2•p1+(x2 - Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…
=(x p1+x p2+…+x pn+…)-2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
=Eξ2-2Eξ•Eξ+E2ξ•1=Eξ2 - E2ξ.
4如图所示,抛物线焦点F ,
准线l:x= ,作MH⊥l于H,FM中点
为P,设圆P的半径|PF|= r,作PQ⊥y
轴于Q,则PQ为梯形MNOF的中位线.
∴|PQ|=
∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图

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张浩东
【解元】
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