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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:28 pm

第17计 化归开门 江山一统
●计名释义
整数乘法有口诀:2×3=6,5×7=35.这就是整数乘法的法则.分数乘法无口诀,那么分数在怎样作乘法呢? ,原来是在进行“转化”,变成了分子分母上的整数乘法.
化归思想,连小学生都在用,有一老师问学生:前100个偶数的和为多少?一学生回答:10100.
老师问怎么来的?学生回答:由前100个自然数的和来的:
2+4+…+200=2×(1+2+…+100)=2×5050=10100.
这就是数学解题中的“化归法”,复杂向简单化归,陌生向熟悉化归,未知向已知化归.●典例示范
【例1】 已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1.求数列的通项公式及前n项和Sn.
【分析】 这个数列既不是等差数列也不是等比数列,但又看到其中既含等差数列又含等比数列:比如把递推式中的常数1去掉,则变成等比数列,把系数2换成1则变成等差数列.为此,破题工作在化归上寻找入口:向等比(等差)数列转换.
【解答】 在递推式an+1=2an+1两边加1,化为(an+1+1)=2(an+1),数列{an+1}为等比数列,公比q=2. 所以an+1=2n-1(a1+1),即an=2n-1,且Sn=2n-n-1.
【插语】 本数列的一般形式为:an+1=kan+b(k≠0、1,b≠0),有人称其为“等差比数列”.等差、等比数列都是它的特例,分别是k=1,或b=0时的特殊情况.用换元法化归为等比数列的“常数匹配”可用待定系数法求得:
设an+1+c=k(an+c)=kan+kc an+1=kan+kc-c kc-c=b,c=
对于上题,b=1,k=2,因此解得c=1.
【点评】 化归开门体现在本题中:把我们不熟悉的“等差比数列”化归到我们熟悉的等比数列来解.化归采用的办法是换元,实际上是an+1+c=bn+1=kbn.
说来也很滑稽,对中学生来讲,不向“等比(等差)”化归,还有什么别的出路呢?
【例2】 已知三条抛物线y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a-1)x+a2,y=x2+2ax-2a中至少有一条抛物线与x轴有交点,求实数a的取值范围.
【解答】 解答本题如果从正面入手,将要分有一条抛物线、两条抛物线、三条抛物线与x轴有交点的三类七种情况加以讨论,过程十分繁琐.但是如果转化为从反面思考,即考虑三条抛物线都不与x轴相交,则只要解下列不等式组:
所以使得原命题成立的实数a的取值范围是a≤
【点评】 很多的数学问题,如果直接从正面入手求解,难度较大,致使解题思路受阻,但如果转化为考虑问题的反面,则往往可以将问题轻松解决.数学解题中的反证法、补集法等体现的就是这种思想.
【例3】 已知a,b,c均为正整数,且a2+b2+c2+48<4a+6b+12c,求 的值.【解答】 因为原不等式两边均为正整数,所以不等式a2+b2+c2+48<4a+6b+12c与不等式a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c等价,这个等价不等式又可化为(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2+(c-6)2≤0,故
【点评】 将等式与不等式对应转化,是转化数学问题常用的、有效的手段.
●对应训练
1.空间两条异面直线a,b所成的角为 ,过不在a,b上的任意一点P作一条直线c,使直线c与直线a,b成相等的角θ,则θ的取值范围为 ( )
A.θ∈Φ B.θ∈{ }
C.θ∈[ , ] D.θ∈[ , ]
2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p,q,则 等于 ( )
A.2a B. C.4a D. 
3.函数f (x)满足:对任意实数x,y都有f (x)+f (y)= ,且当x<0时,都有f (x)>0.
求证:
●参考答案
1.解析 若在三维空间考虑该问题,
就显得千头万绪.如右图所示,
过直线b上任意一点A作直线
a′∥a,a′与b确定平面a,
把点P移动到A点,问题便转化
为过A点作一条直线c′与直线a′,b
所成的角均为θ,求θ的取值范围.
易知当直线c′在平面a内时, 第1题解图
直线c′与a′,b所成的角最小为 ,当c′⊥a时,直线c′与a′,b所成的角最大为 ,故选D.
2.解析 一般解法是先求出焦点F坐标为(0, ),然后由直线PQ的方程与抛物线的方程联立,求出p,q的值,运算过程繁杂,容易出错.
若把一般性的PQ的直线方程转化为特殊性的方程,即取PQ与x轴平行的方程y= ,很快就能选出正确答案C.应当看到相当多的一类选择题与填空题,或者可赋予变量的特殊值,或者可从符合一般条件的特殊点中求得正确的答案,这种从一般到特殊的转化常常能收到事半功倍的效果.
3.证明 易证f (x)为奇函数,且当x>0时都有f (x)<0.先从 入手,向题设条件转化:
由于 
故有 =
再整体处理不等式左端数列的和有

依题意 ,恒有 ,则
故原不等式成立.
点评 本题融函数、数列、不等式为一体,正确解答本题的关键是注意整体和式与局部数列的通项的转化.

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张浩东
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