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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:29 pm

第18计 转换开门 亦必亦充
●计名释义
转换是化归的实施.化归重在理念,转换重在操作.
转换是寻找“替身”,由彼及此,“彼”得对“此”全盘负责.因此,转换前面经常冠以“等价”二字,即“等价转换”.
从“条件”的角度看问题,转换是在寻找解决问题的充要条件,而化归有时在寻找解决问题的充分条件,甚至是探究中的必要条件.
●典例示范
【例1】 设01.【分析】 n=1时,结果显然.在由k到k+1时,关键在如何利用递推式.
【解答】 (i)n=1时,a1=1+a>1,命题真;
(ii)假设n=k时,命题真,即ak>1. 对n=k+1,欲使ak+1>1,只须ak+1= 
【插语】 因为ak>1,所以 <1,由递推式ak+1= +a推不出ak+1>1来,因此,问题向何处转化,得另寻对象.
递推式中,ak出现在分母上,要得到ak+1成立必须找ak的取值范围.
【续解】 欲使ak+1= +a>1,必须且只须对一切n∈N+, 都有ak< 
【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1【续解】 (i)n=1,显然有1对于n=k+1,ak+1= +a>(1-a)+a=1. 又ak>1 <1 +a<0+a.
因为1-a2<1 (1+a)(1-a)<1 1+a< 所以 +a<1+a< ,即ak+1<
由(i)(ii)可知,对一切n∈N+,都有1【点评】 证完了吗?证完了.不用证原来的不等式了,因为已经证明原不等式的“等价替身”.

【例2】 在复平面内,复数 对应的点位于 ( )
A.第一 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】 = .这里 都是负数,故复数 对应的点位于第三象限,选C.
【点评】 本解实施由复数向实数的转换.
【例3】 设f (x)=log3(x+6)的反函数为f -1(x),若[f -1(m)+6][f -1(n)+6]=27, 则f(m+n)= .
【解答】 由f (x)=log3(x+6) f -1(x)=3x-6.∴[f -1(m)+6][f -1(n)+6]=27 3m•3n=33 m+n=3.∴f(m+n)=log3(3+6)=2.
【点评】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换.
【例4】 定义在R上的函数f (x)的图象关于点( ,0)对称,且满足f (x)= -f (x+ ),f (1)=1,f (0)=-2,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 由f (x)= -f (x+ ) f (x+3)= f[(x+ )+ ]=-f (x+ )=f (x)知f (x)是最小正周期T=3的周期函数;由f (x)的图象关于点( ,0)对称,知(x,y)的对称点是(- -x,-y).也就是若y=f (x),则必-y=f (- -x),或y=-f (- -x). 而已知f (x)=-f (x+ ),故f (- -x)= f (x+ ),今以x代x+ ,得f (-x)= f (x),故知f (x)又是R上的偶函数.于是有:f (1)=f (-1)=1;f (2)= f (2-3)=f (-1)=1;f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;
∴f (1)+f (2)+f (3)=0,以下,这个数列每3项之和为0. 而2006=3×668+2,于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2,故选A.
【点评】 本解实施的是由繁向简的转换.
【例5】 对于函数f (x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论:①f (x1+x2)= f (x1)•f (x2);②f (x1• x2) =f (x1)+f (x2);③ >0;④ < ,当f (x)=lgx时,以上结论中正确结论的序号是 .
【解答】 取x1=10,x2=100, 那么lg(10+100)=lg110,而lg10×lg100=2,知①不成立;lg(10×100)=lg1000=3,而lg10+lg100=1+2=3,知②成立; >0显然成立,③正确;lg =lg55=lg , ,则④不成立.
综上,只有②③成立.
【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.
●对应训练
1.函数y= (x≠kπ;k∈Z)的值域是 ( )
A.[2 ,+∞) B.(1,2 ] C.(0,4] D. [4,+∞)
2.若{an}是等差数列,首项a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
3.设复数z满足 =i,则|1+z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
4.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D. 
5.若双曲线2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2,则k= ( )
A.1 B.4 C.6 D.8
●参考答案
1.D 令u=sin2x,则02.B ∵a1>0,a2003+a2004>0,a2003•a2004<0,且{an}为等差数列.
∴{an}表示首项为正数,公差为负数的单调递减等差数列,且a2003是绝对值最小的正数,a2004是绝对值最大的负数(第一个负数),且|a2003|>|a2004|,
∵在等差数列{an}中,a2003+a2004=a1+a4006>0,S4006= >0.
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.
3.C 利用合分比性质,由 ,解得z=-i, ∴|1+z|=|1-i|= .
4.B 设每个三棱锥的体积为V′,则剩下的凸多面体的体积是
V=1-8 ,V′= ∴V=1-8V′=1- ×8=
5.C 双曲线为 ,a2= ,b2=k,∴c2=a2+b2= ,由条件:c- =2,即 =2. ∴b2=2c,得:k=2• ∴k2=6k,k>0,∴k=6.

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张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
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生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
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