数学三十六计

第19计 模式开门 请君入瓮
●计名释义
数码时代就是非数学问题数学化，非数字问题数字化，非函数问题函数化，非方程问题方程化，如此等等.
如何“化”法呢？这就是数学建模.数学建模是一种能力，把实际问题加工为数学问题的能力.
数学建模是一种思维形式，对中学生来讲，有以下三种形式.
第一，现成的模式直接拿来应用；第二，实际问题理想化，从复杂的问题中抓住主要矛盾，使之符合某种现有的模式；第三，对原始问题进行重新建构，“重新”的意思包含：①对原有模型重新组合；②对新问题创建新模式.
● 典例示范

【例1】 实数x，y满足x2+(y-1)2=1，则使不等式x+y+c≥0恒成立的实数c的取值范围是 （ ）
A.［-1 ， -1］ B.［ -1，+∞)
C.( +1， -1) D.(-∞， -1)
【分析】 容易看出：x2+(y-1)2=1表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，而x+y+c≥0表示直线y=-x-c即其上半平面，因而构造解析几何模型，原题转化为：当点（x，y）既在直线y=-x-c上方，又在圆x2+(y-1)2=1上运动时，实数c应满足什么条件？
【解答】 如图，斜率为-1的直线
y=-x-c切圆x2+(y-1)2=1于A，B，
交y轴于M，N.连AB，
则AB过圆心C（1，0）.
等腰直角三角形MCB中，∣CB∣=1，
∴∣CM∣= ，设M（0，-c），
必-c=1- ，得M（0，1- ）.
当且仅当-c≤1- 时，圆x2+(y-1)2=1 例1题解图
上的点在直线y=-x-c上或其上方.于是c≥ -1，选B.
【例2】 正数x，y，z满足方程组 ，则xy+2yz+3xz的值是 .
【分析】 从题目的条件看，方程组的左边具有余弦定理或勾股定理的形式，而右边正好是一个直角三角形三边之长的平方值.因此考虑构造直角三角形.
【解答】 将原方程组改写如下： ，
构造如图的直角三角形ABC，使AB=5，
AC=4，BC=3.又在△ABC内取一点P，
使∠APB=150°，∠APC=120°，
∠BPC=90°.显然符合题设条件.
∵S△APB+S△BPC+S△CPA=S△ABC，
而S△APB= x• y•sin150= xy，
S△APC= xz•sin120°= xz， 例2题解图
S△BPC = z• y= yz，S△ABC=6.∴ xy+ xz+ yz=6，
∴xy+2yz+3xz=24 .

【例3】 某城市为了改善交通状况，需进行路网改造，已知原有道路a个标段，（注：1个标段是指一定长度的机动车道），拟增建x个标段的新路和n个道路交叉口，n与x满足关系n=ax+b，其中b为常数，设新建一个标段道路的平均造价为k万元；新建一个道路交叉口的平均造价是新建1个标段道路的平均造价的β倍（β≥1），n越大，路网越通畅，记路网的堵塞率为μ,它与β的关系为μ= .
(Ⅰ)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；
（Ⅱ）若要求路网的堵塞率介于5％～10%之间，而新增道路标段为原有道路的标段的
25％，求新建的x个标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比p的取值范围.
(Ⅲ)当b=4时，在（Ⅱ）的假设下，要使路网最通畅，且造价比p最高时，问原有道路标段为多少个？
【解答】 （Ⅰ）新建x个标段，则应建n=ax+b个道口，建x个标段需kx万元，建（ax+b）个道口需
y=kβ(ax+b)(万元).
(Ⅱ)∵μ∈［5%,10%］,
∴0.05≤ ≤0.1，5≤1+β≤10，即β∈［4,9］,
又p= = .
∵p>0,β>0，∴ >0，当β∈［4,9］时， ∈［ ， ］，所求p的范围是：
.
(Ⅲ)路网最畅通，则μ最小，即β最大，
故β=9，又b=4.
∴p= ，当且仅当a= . a>0，即a=4时，造价比p= 为最高.
∴满足（Ⅲ）的条件的原有道路标段是4个.
【点评】 本例属城市规划型应用题，牵涉到的数学知识虽然不变，可是题目牵涉到的新概念如“标段”、“堵塞率”、还有新定义的字母n、β、μ等都会成为解题的拦路虎，所以解这类应用题的基本办法是反复阅读，务求读懂题，读懂一部，做一步，在做中加深理解，从而创造再做的条件，如此反复，必可导致问题的完全解决.
【例4】 你正受聘向一家公司的生产经理提供合理方案，生产工序的一部分是从一块小半圆的扇形钢板上切割出一块矩形钢板，问你该如何安排切割方案才能使损耗最小?
【思考】 此题条件太抽象，完全靠自主建立模型，在建立几何模型时要考虑全面半圆扇形分锐角、直角、钝角三种情况，恰当的引入参数角θ将所求量用其表示出来.
【解答】 设扇形OAB的半径为R，中心角为2α.
(1)当中心角小于直角时,如图(1)所示，设∠BOD=θ，
则S□CDEF ＝DE•EF=Rsinθ• •［cos2(α-θ)-cos2α］
当2(α-θ)=0，即θ=α时，S□CDEF有最大值 tanα.
（2)当中心角等于直角时，如图(2)所示，因EF＝OE＝Rcosθ，
则S□CDEO=DE• EF=Rsinθ•Rcosθ= sin2θ，当2θ= 即θ= =α，S□CDEO有最大值 .
(3)当中心角大于直角时，如图(3)所示，CDEF为扇形的内接矩形，取 的中点M，连结OM，则∠BOM=α,∠DEO=π-α，令∠DOM=θ，则矩形面积S=CD•DE=2R•sinθ ［cos (2θ-α)-cosα］，当cos(2θ-α)=1.
即θ= 时，Smax= .
此时，只需将扇形弧四等分，以第一和第三分点的线段为一边作内接矩形CDEF，再沿其周界切开即可.








例4题解图
●对应训练
1.已知a2.已知a，b，c，d为实数，求证：
3.设n是大于1的自然数，求证：
4.若a，b≠0，且a2+b2=1，求证：
5.α,β,γ均为锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，求证：tanαtanβtanγ≤ 
6.某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为5000元，但每生产1台时又需可变成本（即另增加投入）25元，市场对此商品的年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x- (万元)(0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量（百台）.
(1)把利润l表示为产量x的函数L (x);
(2)年产量为多少时，企业所得利润得大？
（3）年产量为多少时，企业才不会亏本？
7.在边长为5cm，6cm，7cm的三角形铁皮中，能否剪下一个面积不小于8cm2的圆形铁片?请做出准确回答并证明你的结论
●参考答案
1．原题即证：a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2<0或a2(b-c)+a(c2-b2)+bc(b-c)<0.
设f (a)=a2(b-c)+a (c2-b2)+bc (b-c) (a这里b-c<0，且Δ=(b+c)2(b-c)2-4bc(b-c)2=(b-c)4>0.
∴f (a)的图像是开口向下的抛物线，其对称轴为x= ，而 >b>a，函数在 上递增，∴f (a)2如图所示，在直角坐标系中,
设有A(a,b)，B(c,d)两点，
连接AO，OB，显然
|OA|+|OB|≥|AB|(当A、O、B
共线时等式成立).
∴
若将点B的坐标改为 (-c,-d)，则有：
. 第2题解图
3设 ,
即 , 则 .
两式相乘：A2>2n+1，∴A= 2.
即 .
4.在坐标平面内设有两点A(a，b),B ，
则|AB|=
设过A的直线l：ax+by-1=0.
∵a•a+b•b-1=a2+b2-1=0,
∴点A(a，b)符合条件a2+b2=1.
作BC⊥l于C，则|AB|≥|BC|
（当直线l⊥AB时等式成立）.
∵|BC|= 第4题解图
∴ ≥3. 即 ≥9.
5如图所示，设长方体的长、宽、高
分别为a，b，c，连接BD1，设∠BD1B1=α,
∠BD1A=β，∠BD1C=γ.
∵BD1= ，B1D1= ,
AD1= ,
CD1= ，∴满足
cos2α+cos2β+cos2γ=2，且α,β,γ均为锐角. 第5题解图
于是tanα•tanβ•tanγ=
≤
故tanα•tanβ•tanγ≤
6.（1）年产量在500台以内（即0≤x≤5），可全部售出；年产量超过500台（即x>5）.只能售出500台，x(百台)的生产成本为C(x)=0.25x+0.5(万元).
故利润函数L(x)=R(x)-C(x).
当0≤x≤5时，L(x)=(5x- x2)-(0.25x+0.5)= - x2+4.75x-0.5.
当x>5时，由于只能售出500台，∴L(x)=(5×5- ×52)-(0.5+0.25x)=12-0.25x.
于是 .
(2)为使利润最大，须求L(x)的最大值，显然x>5时不可取（会造成积压）.
当0≤x≤5时，∵L′(x)=-x+4.75，命L′(x)=0，得x=4.75，L(x)的图像为开口向下的抛物线，∴当x=4.75时，［L(x)］max= =10.78125(万元)，即年产量为475台时，企业利润最大.
(3)为使企业不亏本，必须L(x)≥0.显然，0≤x≤5时，应使- x2+4.75x-0.5≥0.
即2x2-19x+2≤0，解得0.11≤x≤14，综合得：0.11≤x≤5.

x>5时，应使12-0.25x≥0，得5于是，为使企业不亏本，产量应在11台至4800台之间.
7.可以办到.如图所示，证明如下：
设△ABC内切圆半径为r，则
S△ABC= (5+6+7)r=9r ①
∵cosB= 
∴sinB=
∴S△ABC= •5•6• =6 （cm2） ② 第7题解图
比较①，②：9r=6 得r= （cm），于是S⊙O= =8（cm）2.