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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:35 pm

第20计 讨论开门 防漏防重
●计名释义
为什么要讨论?因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了,那就只有“分”.分就是化整为零,以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢?因为在“部分”中有了“个性”,这相当于增加了解题的条件.
分类要注意“标准统一”,这将可避免“重”和“漏”,用集合的话说,就是,把全集合分成若干个子集之后,要使:
①两两子集之交为“空”;②所有子集之并为“全”.
分是手段,合为目的,分类讨论完毕之后,要整合出对整个问题的答案.
●典例示范
【例1】 已知a∈R,函数f (x)=x2|x-a|.
(1)当a=2时,求使f (x)=x成立的x的集合;(2)求函数y=f (x)在区间[1,2]上的最小值.
【分析】 (1)只需分两种情况讨论;(2)含参数的讨论问题,一定要把所有情况考虑出来,否则容易丢解.
【解答】 (1)当a=2时,f (x)=x2|x-2|=
当f (x)=x时,即x2(x-2)=x (x≥2)或x2(2-x)=x (x<2)x3-2x2-x=0,x(x2-2x-1)=0,
x1=0(舍去),x2=1- (舍去),x3=1+ .
当x2(2-x)=x时,∴x3-2x2+x=0,x(x2-2x+1)=0,x=0或x=1.
综上所述:a=2时,f (x)=x成立的x的集合为{0,1,1+ }.
(2)f (x)= 若a≤1时,即a<1≤x≤2,f (x)=x3-ax2.
∴f ′(x)=3x2-2ax=0,∴x1=0,x2= a ∵1≤x≤2,∴ a∴x=0或x= a都不在[1,2]内,而x∈[1,2],
f ′(x)>0,即f (x)在[1,2]内为增函数. ∴f (1)=1-a,f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a.
若a∈(1,2),即f (x)=
当1≤x≤a时,f (x)=-3x2+2ax=0,x1=0,x2= a.
若a< 时,1≤x∴f (x)min=-a3+a3=0.
当a≤x≤2时,f ′(x)=3x2-2ax=0,x1=0,x2= a. 当x∈[a,2],f ′(x)>0.
∴f (x)在[a,2]上为增函数. ∴f (x)min=0.
当a>2时,x∈[1,2]. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3.
∴f ′(x)=2ax-3x2=0. ∴x1=0,x2= a
若 < a≤2,f (x)在[1, a]上为增函数. f (1)=a-1,f ( a)= a3- a3= a3.
f (x)在[ a,2]为减函数,f (2)=4a-8.
∴f (x)min为a-1,4a-8中的较小数. 即2 ≤a≤3,f (x)min=a-1 a>3时,x∈[1,2]时,f ′(x)>0∴f (x)min=f (1)=a-1.
综上所述,a≤1时,f (x)min=1-a,
a∈(1,2)时,f(x)min=0, a∈(2, )时,f (x)min= 4a-8;
a∈[ ,3]时,f (x)min=a-1; a∈(3,+∞)时,f (x)min=a-1.
【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第(1)问中要对x的取值进行讨论,第(2)问中对a的取值进行讨论,而且分了四种情况,可见分类讨论的考查无处不在.
【例2】 设f (x)=g(x)-h(x),其中g(x)=2x3+ +5,h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+ .
(1)若x>0,试运用导数的定义求g′(x);
(2)若a>0,试求定义在区间[0,6]上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间.
【解答】 (1)g′(x)=  =
= .
(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a.
①当0②当 ≤a<1时,0<1-a≤2a<6,于是函数f (x)在[0,1-a]上单调递增,在[1-a,2a]上单调递减,在[2a,6]上单调递增;
③当1≤a<3时,1-a≤0<2a<6,于是函数f (x)在[0,2a]上单调递减,在[2a,6]上单调递增;
④当a≥3时,1-a<0<6≤2a,于是函数f (x)在[0,6]上单调递减.
【点评】 本题中对a的划分是关键,最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类,再进行讨论就不成问题了.
●对应训练
1.若集合A1,A2满足A1∪A2=A,则称(A1,A2)为集合A的一种分拆,并规定:当且仅当A1=A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆,则集合A={a1,a2,a3}的不同分拆种数是
A27 B26 C9 D8
2.若数列{an}的通项公式为an= ,n∈N+,则 等于 ( )
A  B C D 
3. 如图,已知一条线段AB,
它的两个端点分别在直
二面角α-l-β的两个面内转动,
若AB和平面α、β所成的角分别
为θ1、θ2,试讨论θ1+θ2的范围.
第3题图
●参考答案
1.A 由于A={a1,a2,a3}=A1∪A2,以A1为标准分类.
A1是,则A2={a1,a2,a3},这种分拆仅一种,即C •C =1;
如A1为单元素集,有C 种可能,对其中每一种,例如A1={a1},由于必有a1,a3∈A2,且a1∈A2或a1 A2都符合条件. 这种分拆有C •C =6种.
如A1为双元素集,有C 种可能,对其中每一种,不妨设A1={a1,a2},则必a3∈A2,此外对a1,a2可以不选,选1个或全选,有22=4种选法,这种分拆共有C •4=12种.
若A1为三元素集,则A2可以是{a1,a2,a3}的任何一个子集,故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.
2.分析:直接赋值,无法求解,观察题设及欲求式,需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.
解析:根据题意,得an=
∴{a2n-1}是首项为 ,公比为 的等比数列,{a2n}是首项为 ,公比为 的等比数列.

=  故选C.
点悟:解分类讨论问题的一般步骤为:
(1)确定分类讨论的对象:即对哪个参数进行讨论;
(2)对所讨论的对象进行合理的分类(分类时要做到不重复、不遗漏,标准要统一、分层不越级);
(3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决;
(4)归纳总结:将各类情况总结归纳.
3.分析:由于AB于l的位置关系不定,故需分类讨论.
解:(1)当AB⊥l时,显然θ1+θ2=90°.
(2)当AB与l不垂直时,在平面α内作AC⊥l,垂足为C,连结BC.
∵平面α⊥平面β,∴AC⊥平面β. ∴∠ABC是AB与平面β成的角,即∠ABC=θ2.
在平面β内作BD⊥l,垂足为D,连结AD. 同理可得∠BAD=θ1.
在Rt△BDA和Rt△ACB中,∵BD∵θ1与∠BAC均为锐角,∴θ1<∠BAC. 而∠BAC+θ2=90°,∴0°<θ1+θ2<90°.
(3)若线段AB在直线l上,则θ1+θ2=0°. 综上,可得0°≤θ1+θ2≤90°.
点悟:由于几何问题中各元素的位置关系不定,对于所有可能的情况,必须分开一一进行研究.

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张浩东
【解元】
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