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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:36 pm

第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
“有数无形少直观,有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.
“凭直观,图上看;想深入,解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.
“遇式不用愁,请你先画图;看图莫着急,静心来分析”.——这是在讲数形互动.
“图形有形象,记数不易忘;解析有内功,看图静变动”.——这是在讲数形互补.
“观图见形美,初品数学味;想数内涵丰,数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.
函数有图形——图象,轨迹有图象——图形,三角、几何就更不必说,集合有韦恩图,逻辑有方框图,组合、二项式有杨辉三角,如此等等.
然而,数形结合中的形,仅相对数而言.如几何中最简单的直线,平面等,现实生活中并不存在.
这里的形是数的象征,是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”,这是对数形的大误,你怎么不把“想象”写成“想像”呢?
●典例示范
【例1】 若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
【解答】 函数y=|ax-1|= ,其图象由y=|ax|(a>0,a≠1)的图象下移一个单位得到.如图,当a>1时,直线y=2a与y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象仅一个交点; 当00,a≠1)的图象有两个公共点,解得a∈(0, ).









例1题解图
【评注】 本题也是有数无形,解法是“图形开门,体美神丰”.
【例2】 当曲线y=1+ 与y=k(x-2)+4有两个相异交点时,
实数k的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解答】 方程即y=1+ 即x2+(y-1)2= 4 (y≥1),它表示以(0,1)为圆心,2为半径的上半圆;方程y=k(x-2)+4表示过(2,4)且斜率为k的直线.原题的含义是:当直线与半圆有两个相异交点时,该直线的斜率应在什么范围?
如图,直线MB、MC与半圆切于B、C,
半圆的两端依次为A(-2,1)(2,1).
显然,线段AB内任意一点与M的连线
与半圆都只一个公共点,
∴kmax=kMA= ,设直线
MC交直线y=1于N,令
∠DMC=∠DMB=α,∠DNM=β,
例2题解图
显然tanα= ,∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α= ,
于是斜率k∈ ,选B.
【反思】 只有准确理解“数”的意义,才能恰当的“图形开门,体美神丰”.
【例3】 设实数(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0,则 的最小值是 .
【解答】 圆(x-1)2+(y-1)2=1
的圆心C (1,1),半径r=1. 如图所示,
此圆在第一象限且与两轴相切,
为求 的最小值. 先求 的最大值.
表示圆上的点(x,y)与定点P(-1,0)连线的斜率. 例3题解图
∴kPA≤ ≤kPB(其中PA、PB为过P所引圆的切线). 设∠APC=∠CPB=θ,则tanθ= ,
∴tan∠BPA=tan2θ= . ∴ 从而 
【例4】 已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当x∈(0,3)时,f (x)的图像如图所示,那么不等式f (x)•cosx<0的解集是 .
【思考】 将f (x)在(-3,3)内的图像补充完整如图所示.
可知:当x∈(-1,0)∪(1,3)时,f(x)>0,为使f (x)•cosx<0,只须cosx<0,得x∈ ;
当x∈(-3,-1)∪(0,1)时f (x)<0,为使f (x)•cosx<0,只须cosx>0,得x∈ ∪(0,1)
∴f (x)•cosx<0的解集为 ∪(0,1)∪ .







例4题图 例4题解图

【点评】 仅凭图像,无法断定f (x)的解析式,就本题而言,也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要,这即是图形的功能.
●对应训练
1.若不等式x2-log ax<0在(0,0.5)内恒成立,则a的取值范围是 ( )
A. ≤a<1 B.01
2.P是抛物线y=x2上任意一点,则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时,P与该抛物线的准线距离是 ( )
A. B. C.1 D.2
3.方程 的实根共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若方程 =2有实数解,则a的取值范围是 ( )
A.(-2,0)∪(0, ) B.[-2,0)∪(0, ]
C.(-2, ) D.[-2, ]
5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解,试求实数a的取值范围.
●参考答案
1.A 在同一坐标平面内作y1=x2,y2=log ax的图像,如图,
由题意可知必有0y1在(0,0.5)内恒成立,必须且只需P点在A的右边,而P点与A点重合时,a= ,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得 ≤a<1.









第1题解图 第2题解图

2.B 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示,设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L,由图可知,切点P0到x+y+2=0的距离最小,设P0(x0,y0),则L方程为y=-x+b与抛物线y=x2联立得:x0= ,则y0=x = . 所以P0 到抛物线准线y=- 的距离为 .
3.A 设y1= ,
变形得(x-2)2+y =8,∴y1的图像是以(2,0)为圆心,2 为半径的上半圆, 设y2= ,变形得:(x-1)•(y2+1)=1,y2的图像是以直线x=1,y=-1为渐近线的双曲线,如图所示,两曲线仅一个交点,即原方程只有1个实根.







第3题解图 第4题解图

4.A 原方程可变形为lg =lg(x-a),设y= ,它表示以原点为圆心, 为半径的半圆,如图,设y=x-a(y>0),它表示斜率为1的射线(不含端点),其中a的几何意义是射线在x轴上的端点,如图所示,当-2≤a< 时,两曲线有交点,又因为x-a≠1,令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0,解得a=0或a=-2,所以a≠0且a≠-2,故a∈(-2,0)∪(0, ).
5.解析 ∵原方程
∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a= 在x>0时有且仅有一个实数解.
问题转化为直线y=x+a与曲线y= (x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点,由图像易得a= 或a≤0.
点评 本题若用代数方法求解比较繁琐,由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.

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张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
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注册日期 : 09-12-20
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