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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:36 pm

第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
所谓创新题,就是这之前没有做过,没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目,它的答案(是否存在),它的解法(暂时不知),需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.
“石头”,指我们已有的知识和方法,这当然是很重要的.若要“过河”,仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质:大智大勇!
面对着数学上的探索问题,智、勇体现在哪里?勇——大胆地猜;智——小心地证.●典例示范
【例1】 如图所示,在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱CC1,C1D1,D1,D的中点,N是BC中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只要满足
条件 时,就有MN∥平面B1BDD1(请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况).
【思考】 显然HN∥BD,即得HN∥平面B1BDD1,为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M,只需过HN作平面,使之平行于平面B1BDD1,将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】 连FH,当点M在HF上运动时,恒有MN∥平面B1BDD1








例1题图 例1题解图

证明如下:连NH,HF,BD,B1D1,且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD,HF∥BB1,故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF,∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数,且对于任何x∈R,f (2-x)= f (2+x)总成立,问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时,才能使-2【思考】 根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数,然后可通过函数单调区间进行分类讨论.
【解答】 由题设知:函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2]上是增函数;在[2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2,1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2],1+2x-x2∈(-∞,2]
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时, 1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0,解得x<-2或x>0,不能使-2当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,1-2x2>1+2x-x2, 即x2+2x<0,解得-2当f (1-2x2)=f (1+2x-x2)时, 可得x= -2或0,不能使-2∴当f (1-2x2)>f (1+2x-x2)时,才能使-2【例3】 能否构造一个等比数列{an},使其同时满足三个条件:①a1+a6=11;②a3a4= ;③至少存在一个自然数m,使 am-1,a ,am+1+ 依次成等差数列.若能,请写出这个数列的通项公式.
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.
∵a3a4=a1a6, ∴由
即满足条件①,②的等比数列,其通项公式为an= •2n-1或an= • n-1.
(1)如an= •2n-1,设存在题设要求的m∈N,则2× =
化简得:22m-7•2m-8=0 2m=8,∴m=3.
(2)如an= • n-1,设存在m∈N,使2• 
化简得:4(26-m)2-11•26-m-8=0,这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在. 
综上所述,能构造出满足条件①,②,③的等比数列,该自然数m=3,数列的通项公式为:
an= •2n-1.
【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.
(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). (2)观察后请写出这个对应法则.
(3)可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质:当g(x)>0时,对应的f (x)的性质有哪些?(4)你还能研究另外的某些性质吗?
(5)设g(x)=x,写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题,解题时要求根据已知条件将结论(必要条件)补充完整. f (x)与g(x)是什么关系?我们容易由f′(x)=2ax+b,知f′(x)=g(x),可见,只有当
g(x)= f′(x)时,才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1,b=2,∴g (x)=2x+2.
(2)①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积;
②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.
(3)g(x)>0,即2ax+b>0,当a>0时,x> ,而x= 是f (x)的对称轴,故这时f (x)是单调增函数;a<0时,x< ,f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为 .后者单调区间为 ).
(4)当g(x)<0时,f (x)是单调减函数(请仿照(3)证明之).
(5)g(x)=x时,2ax+b=x,知a= ,b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中,命a= ,b=0,c取任意值即可,如f (x)= x2+1,f (x)= x2+ ,f (x)= x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件,即若A B,则称A为B的充分条件,B为A的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O′过定点A(0,P)(P>0),圆心O′在抛物线x2=2py上运动,MN为圆O′在x轴上截得的弦,令|AM|=d1,|AN|=d2,∠MAN=θ.
(1)当O′运动时,|MN|是否有变化,并证明你的结论;
(2)求 的最大值,并求取得最大值的θ的值.
2.如图所示,已知在矩形ABCD中,
AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,
且PA=1.
(1)问BC边上是否存在Q,
便得PQ⊥QD,并说明理由;
(2)若BC边上有且只有一点Q,
使得PQ⊥QD,求这时二面角
Q—PD—A的大小. 第2题图
3.已知椭圆 (a>b>0)的离心率e= ,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点距离为 .
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点,试判断:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过点E?若存在,求出这个值.若不存在,说明理由.
4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件:
①原点O与直线x=1是它的焦点和准线;
②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2 ,若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
●参考答案
1.(1)如图所示,设抛物线上一点O′(x0, ),
连结O′A,O′M. 作O′C⊥MN于C,
则|MN|=2|MC|,
∵|O′M|=|O′A|=
∴|MC|=  第1题解图
∴|MN|=2p为定值.
即当O′运动时,|MN|不会有变化,总有|MN|=2p.
(2)如图所示,有M(x0-p,0),N(x0+p,0)
∴d1= d2=
∴d +d =4p2+2x ,d1d2=
∴ =
= 4
当且仅当x =2p2,即x0=± p,y0=p时等式成立,此时|O′M′|=|O′N′|= p.
∴∠MO′N=90°, ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题,解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD,∵PA⊥面ABCD,只需满足AQ⊥QD即可,再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件,从而使问题得到解决.
【解答】 (1)连结AQ,∵PA⊥面ABCD.
∴要使PQ⊥QD,只要AQ⊥QD,即以AD为直径的圆与BC有公共点.
这就是说,当AD≥2AB,即a≥2,在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD.
(2)∵当a>2时,以AD为直径的圆与BC有两个交点.
当a=2时,只有BC的中点满足条件.
∴AD=2,Q为BC的中点,取AD的中点M,连结QM.
∵面PAD⊥面ABCD,QM⊥AD,∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N,连结NQ.
根据三垂线定理有,QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.
在Rt△QMN中,QM=1,MN=MD•sin∠MDN=1× . ∴tan∠MNQ= .
∴二面角Q—PD—A为arctan .
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手,很容易求得a、b的值,从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在,可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题,若求出符合条件的k值则存在,反之,则不存在.
【解答】 (Ⅰ)e= ,∴ ,∴a2=3b2,即a= b.
过A(0,-b),B (a,0)的直线为 .
把a= b代入,即x- y- b=0,
又由已知 ,解得b=1,∴a= .
(Ⅱ)设C(x1,y1),D(x2,y2).
由 消去y, 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
必须 1+3k2≠0且Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ①
要存在k满足①且使 , 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ②
∵y1=kx1+2,y2=kx2+2
∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③
∵x1+x2= ,代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.
∴k= 满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点,这个值是 .
4.设存在这样的双曲线,其离心率为,则根据双曲线定义得: .
化简为:(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0
将弦所在直线y=x+b代入得:(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0
设弦AB的两端点A(x1,y1)B (x2,y2),AB中点M(x0,y0)则
x1+x2= ,x1x2= ,x0= 
即y0=x0+b= +b,代入x+y=0,得b=-2.
从而x1+x2=2,x1•x2= 弦长|AB|= 
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程:3x2-y2-8x+4=0,经检验它是满足题意的双曲线.

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