十二月 2018
周一周二周三周四周五周六周日
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
31      

日历 日历

投票
RSS


Yahoo! 
MSN 
AOL 
Netvibes 
Bloglines 


登录

找回我的密码


数学三十六计

向下

数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:37 pm

第24计 杠杆开门 以轻拨重
●计名释义
派大力士扛千斤鼎,靠的是力;用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理,以轻拨重,要考虑两个因素:一是支力;二是支点.支力,从解题人的学科知识中寻找;支点,从解题人的思想方法中寻找.
其实,智的体现,集中于支点的寻找,找得越巧越省力.
支点中的点在哪里,本书开场就是“点到成功”,可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢!重合点,对称点,极限点,中心点,定比分点,……,要有尽有.关键是,你面临的那个具体问题,你看中了哪个亮点!
●典例示范
【例1】 正四面体的高线长为4,求其外接球的体积.
【分析】 说曹操,曹操就到.刚刚拿出来杠杆,要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A,B处各放1个质点,则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上,C点放1个质点,中点M处有2个质点,故重心G会聚了3个质点,按杠杆原理,CG=2GM.
至于正四面体中心在哪里?这还用得算吗?
【解答】 设正四面体的顶点为V,底面中心为G,四面体中心为O. 由杠杆原理,O在GV的第1个四等分点上,即VO=3OG.
因此,正四面体的外半径R= h=3.
故正四面体体积为 πR3=36π.
【点评】 如果派大力士去解此题,他将是:①先解2个直角三角形求得“斜高”;②用列方程求外半径.精力过剩者,这当然是一种乐趣.

【例2】 直线l左移3个单位,再上移1个单位时,恰回到原来的位置,这直线的
斜率是 ( )
A. B.-3 C. D.3
【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O(0,0)左移3个单位,上移1个单位得M(-3,1).
于是k+l=kOM= .选A.
【点评】 两点确定一条直线,而斜率相等的一切不同直线都平行,这就是本题解法的依据,或“道理”.试问:什么样的直线平行移动后,可以不经过原点呢?既如此,取特殊点原点,以达到杠杆开门,以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.
【例3】 (04•上海卷)若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转 得到,则f (x)= ( )
A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A(9,1),将OA绕原点逆时针旋转90°得B(-1,9),代入各选项,仅A适合,∴选A.
【点评】 函数的图象都是点的集合,以点的旋转取代图形的旋转,已经够特殊的了,而在无穷无尽的点中,敏锐的找到A(9,1),(经过旋转则得B(-1,9))这样绝妙的特征点,从而轻而易举地找出正确的答案,这难道不痛快淋漓的吗?
【例4】 如图(1)所示,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF= ,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积是 ( )









例4题图

A. B.5 C.6 D.

【思考】 用特殊图形.如图(2)所示,使ED⊥平面ABCD,且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE.
∵VF—ADE= •EF•S△ADE= ×3×2= .
VF—ABCD= •DE•S□ABCD= •2•32=6.∴V多面体= +6= .选D.
【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补,因而计算繁杂.其实,在不影响题设这个大前提的条件下,让图形特殊、再特殊,使之能用最简单的方式求其体积,你还要讲道理吗?君不见:等底等高的一切锥体等积,历经了几千年考验的祖暅原理,难道还不算经典道理吗? 
●对应训练
1.动点A在双曲线 =1上,B、C为双曲线的左、右焦点,△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=10,c-b=6,则tan cot 的值是 ( )
A. B. C. D.1
2.已知0A.log a(xy)<0 B.02
3.设{an}是公比为a,首项为b的等比数列,Sn是前n项和,对任意的n∈N+,点(Sn,
Sn+1) ( )
A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上
4.函数y=x+sin |x|,x∈[-π,π]的大致图像是 ( )








第4题图

●参考答案
1.A 取特殊图形.BC=10 双曲线
焦点为B(-5,0),C(5,0)
c-b=6 2m=6,
∴m=3,n=4,双曲线方程为: =1,
离心率e= .
取特殊位置AC⊥BC,则有A ,
∴AC= ,从而AB= ,
cos B= ,sin B= ,而C=90°. 第1题解图
∴tan cot = •cot 45°= .
2.D 取特殊值.x= ,y= ,a= ,满足0则log a(xy)=log =5.否定A、B、C.
3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn= =2n-1.各选项依次为:
A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1
取点(S2,S3)=(3,7),代入各选项,仅D适合.
4.C 取图形上的特殊点.令x=- ,则y=- +1,点 应位于直线y=x上方,排除A、B、D.

_________________
用快乐去奔跑,
用心去倾听,
用思维去发展,
用努力去奋斗,
用目标去衡量,
用爱去生活!
avatar
张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
威望值 : 172235
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
个人:

返回页首 向下

返回页首


 
您在这个论坛的权限:
不能在这个论坛回复主题