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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:39 pm

第26计 数列开门 前后跟踪
●计名释义
数列是特殊的函数,告诉了自变量是正自然数的函数,因此只要我们应知道这个特殊函数有两种关系式,除通项公式外,还有前后跟踪关系的递推式.高考30年来,数列的难题几乎都出现在递推式中.
●典例示范
【例1】 若数列{an}满足:a1=1,an= +n+an-1, n∈N*,n≥2,求证:an= ,n∈N*.
【证明】 在递推式中,分别令n=2,3,4,…,直到n,得到(n-1)个等式:
a2= +2+a1 a3= +3+a2
a4= +4+a3…… an= 
将这(n-1)个等式整体相加得
an= + +…+ +2+3+…+n+a1
= .
当n=1时,a1=1,也适合上式,
∴an= ,n∈N*
【点评】 这里an与an-1的系数相等(都是1),并且在等号的两旁,因此由递推式得到的(n-1)个等式相加后,很多项可以消去,进而顺利求出an.
由于数列可以看作是正整数n的函数,因此对于以递推关系式出现的问题,常常可以从递推关系式中的n=1,2,3,……入手,得到一系列的等式,通过对它们进行或加、或减、或乘、或除等运算,使问题获得解决.递推意识是解数列问题的一种最基本、最重要的意识.
【例2】 (2006年全国卷Ⅰ)设数列{an}的前n项的和Sn= an- ×2n+1+ ,n=1,2,3,……(Ⅰ)求首项a1与通项an;
(Ⅱ)设Tn= ,n=1,2,3,……求证: 
【解答】 (Ⅰ)a1=S1= a1- ,解得a=2.
an+1=Sn+1-Sn= an+1- an- (2n+2-2n+1),∴an+1=4an+2n+1.
这里an的系数是4,无法仿照例1直接用递推法求解.先将已知递推式的两边同除以2n+1得到 
若令bn= ,则有bn+1=2bn+1 (*)
(*)式就是我们熟知的线性递推式,它可以运用待定系数法求解.
设bn+1+k=2(bn+k),即bn+1=2bn+k. ∴k=1,故 =2(n∈N*),
即{bn+1}是以b1+1为首项,2为公比的等比数列.
∴bn+1=(b1+1)•2n-1 bn=2n-1 an=4n-2n.(n∈N*)
(Ⅱ)Sn= an- ×2n+1 + = (4n-2n)- ×2n+1 + = (2n+1-1)(2n-1).
Tn= ,
∴ 
【点评】 这里的递推式an+1=4an+2n+1化成bn+1=2bn+1后,形如an+1=Aan+B.
对于an+1=Aan+B:当A=1时,an+1=an+B, 即an+1-an=B,故通项an=a1+(n-1)B;
当A≠1时,an+1+k=Aan+B+k=A ,
令k= ,则(A-1)k=B,即k= ,
∴{an+k}是以a1+k=a1+ 为首项,公比为A的等比数列.
于是an+k= •An-1,∴an= •An-1 - .
【例3】 (2006年安徽高考题)数列{an}的前n项和为Sn,已知a1= ,Sn=n2an-n(n-1),n=1,2,……写出Sn与Sn-1的递推关系式(n≥2),并求Sn关于n的表达式.
【解答】 当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入Sn=n2an-n(n-1)中,
得Sn=n2(Sn-Sn-1)-n (n-1), 即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n(n-1) (*)
这就是Sn与Sn-1的递推关系式.
将(*)式两边同除以n(n-1)得 Sn- Sn-1=1(n≥2).
构造新数列 ,它是以2S1=2a1=1为首项,1为公差的等差数列.
于是 =1+(n-1)×1=n,即Sn= (n≥2).
显然,上式当n=1时也成立.∴Sn= ,n∈N*.
【点评】 这里构造新数列 ,关键在于能将(*)式变形为 Sn- Sn-1=1,由此发现递推关系.
高考中许多数列问题,往往是以等比、等差这两类基本数列为背景设计而成的.解决这类问题,常常可以通过构造新数列来实现问题的转化.强化构造意识,有助于创新能力的提高
●对应训练
1.假定一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔,再过一个月便能生下一对小兔,并此后每一个月生一对小兔,如果不发生死亡,问一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对?
2.对任意函数f (x),x∈D,可按图所示构造
一个数列发生器,其工作原理如下:
① 输入数据x0∈D,经数列发生器
输出x1=f (x0);
②若x1 D,则数列发生器结束工作;
若x1∈D,则将x1反馈回输入端,
再输出x2=f(x1),并依此规律继续下去,
现定义f (x)= 
(1) 若输入x0= 则由数列发生器产生数列{xn}, 第2题图
请写出数列{xn}的所有项;
(2)若要数列发生器产生一个无穷常数数列,试求输入的初始数据x0的值;
(3)若输入x0时,产生无穷数列{xn}满足:对任意正整数n,均有xn3.某公司全年的纯利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1至n排序,第1位职工得奖金 元,然后再将余额除以n发给第2位
职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设ak(1≤k≤n)为第k位职工所得奖金额,试求a2、a3,并用k、n和b表示ak;(不必证明)
(2)证明ak>ak+1(k=1,2,…,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义.

(3)发展基金与n和b有关,记为Pn(b),对常数b,当n变化时,求 .


●参考答案
1.把第n个月的兔子总数记为f (n),则f (1)=1,f (2)=1,f (3)=2,f (4)=3,f (5)=5,f (6)=8,f (7)=13,…….考查数列{f (n)}的规律,不难发现,从第三项开始,第一项都是前两项之和:f (3)= f (1)+f (2);f (4)= f (2)+f (3);f (5)=f (3)+f (4);f (6)= f (4)+f (5);f (7)=f (5)+f (6);…,
f (13)= f (11)+f(12)=89+144=233,所以,一对兔子一年可繁殖成233对.
2.(1)∵ f (x)的定义域D=(-∞,-1)∪(-1,+∞)
∴ 数列{xn}只有三项:x1= ,x2= ,x3=-1.
(2)∵ f (x)= =x即x2-3x+2=0, ∴ x=1或x=2.
即当x0=1或2时,xn+1= =xn
故当x0=1时,xn=1;当x0=2时,xn=2(n∈N)
(2) 解不等式x< ,
∴ <0,得x<-1或1要使x1对于函数f (x)= = , 若x1<-1,则x2=f (x1)>4,x3= f (x2)当x1∈(1,2)时,x2= f (x1)>x1,且1满足xn+1>xn(n∈N+).
综上所述,x1∈(1,2)时,由x1= f (x0),得x0∈(1,2).
点评 本题主要考查函数的基本知识,数列的基本知识,解不等式的基本方法,以及综合运用知识的能力和判断推理能力.本题利用框图形式把函数、数列、不等式等知识点冶为一炉,形式新颖,结构巧妙,富于思考.今后仍有可能出现这种富有创新意识的试题.
3.(1)第1位职工的奖金a1= ;第2位职工的奖金a2= ;
第3位职工的奖金a3= ;……第k位职工的奖金ak= .
(2)ak - ak+1= >0.
此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则.
(3)设fk(b)表示奖金发给第k位职工后所剩余款,则
f1(b)= ,f2(b)= ,…,fk(b)= .
得 Pn(b)= fn(b)= , 故 .
点评:本题主要考查数列、不等式、极限的综合运用以及结合职
工福利的实际应用,这正是近年高考命题的热点和重点.

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张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
威望值 : 160485
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
个人:

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