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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:40 pm

第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何,立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点:
1.公式多,变换多,技巧多;
2.思想方法集中,特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想;
3.应用广泛,学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值是 ( )
A.-2 B. C.-3 D. 
【解答】 a2+2b2=6 =1. 设 (θ∈[0,2π]),则
a+b= cosθ+ sinθ=3cos(θ-φ),其中cosφ= ,sinφ= ,∴a+b≥-3,选C.
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换,利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x,则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题,以下解法并不鲜见;
由条件y2=3x- x2.
∴x2+y2=x2+ x2+3x= (x-3)2+ .
∴当且仅当x=3时,(x2+y2)max = .你能发现这种解法有什么毛病吗?
先检验一下,如x=3,会有什么情况发生,将x=3代入已知条件,得:
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然,我们得到了一个错误的等式,毛病在哪里呢?是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围,正确的解法是:
∵y2=3x- x2≥0,∴x2-2x≤0. 得x∈[0,2],而x2+y2= (x-3)2+ .
令z= (x-3)2+ ,则当x≤3时,z为增函数,已求x∈[0,2],故当x=2时,
zmax = (2-3)2+ = 4,即(x2+y2)max= 4.
【评注】 本题若用三角代换,可以避开陷阱,达到八面玲珑.由条件得:
(x-1)2+ y2=1.
设 ,则
x2+y2=(1+cosθ)2+ sin2θ= cos2θ+2cosθ+ (cosθ-2)2+ .
由于cosθ∈[-1,1],故当cosθ=1时,(x2+y2)max = + =4.
此时,x=2,y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M,过M作直线l交抛物线于A
、B两点,求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p,交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为: (t为参数)代入y2=4px:
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是:
1,
设方程(1)之二根为t1,t2,则t1+t2= 
设AB之中点为Q(x,y), ∵t= .
∴ ,消去θ得:y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1,∴|y|>2p,即所求AB中点的轨迹方程为:y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式,在处理解析几何中直线与曲线的关系中,常起重要作用,由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时,必须用其标准式: 
其中P(x0,y0)为定点,θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0,y0)所连有向线段的数量,若M在P上方则t>0,反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离,其半径分别为r1,r2,直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB,过A,B
的切线交于E,求证: .
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是,谁要试图仅用平几知识证明,
肯定难以成功,但若引入三角,则不然.
【解答】 作两圆直径AF,BG,连
CF,DG,命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα,BD=2r2sinβ,
已知AC=BD,∴2r1sinα=2r2sinβ, 例4题图
,
△EAB中,由正弦定理: ∴ .
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧,A距铁路m千米,B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D,并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C,然后用火车运至D,再用汽车运到冶炼厂B(如图所示)A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里,火车每小时行v公里(v>u),要使运输矿石的时间最短,火车站C、D应建在什么地方?
【分析】 求的是C、D建的地方,
为了将问题简化,暂不考虑车站D,
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC= A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于 , , 为常数,问题转化为求y= 的最小值.
∵y′= ,令y′=0,得 时,sinA<1.
sinA< 时,y′<0,sinA> 时,y′>0.
故函数y,从而函数t当sinA= 时,取得极小值:
∵sinA= ,∴A′C=mtanA= ,即车站C距A′为 千米,它与l的长短无关.
同理,站D距B′为 千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ< π)之二根为α,β,求使等比数列1, ,…前100项之和为零的θ值.
2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0,求 的最小值.
3已知圆的方程是x2+y2=1,四边形PABQ为该圆内接梯形,底边AB为圆的直径且在x轴上,当梯形ABCD的周长l最大时,求P点的坐标及这个最大的周长.
4△ABC中,已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变;
(Ⅱ)求y的最大值.
5.一条河宽1km,相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸,现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元,水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1由条件: ,
∴ ,即等比数列的公比q=2sinθ,∴S100= .
已知S100=0,∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ= ,
∵θ∈(π, π), ∴θ= π.
2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1),半径r=1,此圆在第一象限且与两轴相切,为求 的最小值,先求 的最大值.
如图, 表示圆上的点(x,y)与
定点P(-1,0)连线的斜率,PA,PB为
圆C的切线,则 ,连PC,
设∠BPC=∠APC=θ,则tanθ= , 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ= , 即 ,从而 .
3如图所示,有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程为x2+y2=1,∴设P(cosθ,sinθ)为
圆上一点,不妨设P在第一象限,
则有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA= ,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin =2sin ,
l=2+2cosθ+4sin =2+2(1-2sin2 )+4sin =5-4(sin )2, 第3题解图
当且仅当sin = ,即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时,lmax=5,此时
点P的坐标为 .
4(Ⅰ)y=2+cos C[cos (A-B) - cosC]
=2+cos C[cos (A-B)+cos (A+B)]=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式,故任意交换A、B、C的位置,y的值不变.
(Ⅱ)y=2-[cos C cos (A-B)]2 + cos2(A-B),为求y的最大值必须[cosC cos (A-B)]2取得最小而 cos2(A-B)取得最大.
∵[cosC cos (A-B) 2≥0,且 cos+(A-B)≤ 当且仅当 时以上两条同时成立.
∴ymax = ,此时 故△ABC为正三角形.
5.解法一:如图所示,设OM=x km,则AM= -x,BM= . 总修建费
S=2( -x)+4 
=2 + +x+3( -x)
=2 +( +x)+ ≥2 +2 
由 +x= ,得当x= 时,
S取最小值2 +2 ,此时,
AM≈3.3,BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆,
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时, 第5题解图
总的修建费用最少,此时修建费为11.4万元.
解法二:如图所示,设∠OBM=α(0<αAM=AO-MO= -tanα,总修建费S=2 -tanα)+ =2 +
设t= ,则sinα+tcosα=2 ∴ sin(α+φ)=
由 及t>0,得t≥ , ∴ S≥2 +2 
将t= 代入sinα+tcosα=2,解得α=
∵ 0< 故Smin =2×3.3+4×1.2=11.4.

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张浩东
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注册日期 : 09-12-20
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