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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:41 pm

第29计 向量开门 数形与共
●计名释义
非数学问题数学化,说的是数学建模,非运算问题运算化,向量是典型的代表.
向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一,有深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.同时,它又具有代数运算的功能.因此,它像一个媒婆,牵起了一根线,一头连着代数,另一头连着图形,只要经它轻轻一拉,数形便能结合成一家人.

●典例示范
【例1】 α,β为锐角,且sinα-sinβ= ,cosα-cosβ= ,求tan(α-β)之值.
【解答】 如图,设A(cosα,sinα),
B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点,
由条件知:0<α<β< .
那么:
=(cosα- cosβ,sinα- sinβ)
= .
∴| |= ,| |=| |=1. 例1题解图
△OAB中,由余弦定理:cos(α-β)= cos (β-α) = .
∴sin(α-β)= ,tan(α-β)= .
【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性,那么利用向量
模型证明不等式则有其独到的简便之处,再看下例.
【例2】 设a,b,c,d∈R,证明:ac+bd≤ 
【解答】 设m=(a,b),n=(c,d),则mn=ac+bd,|m|•|n|=
∵m•n=|m|•ncos(m,n)≤|m|•|n|. ∴ac+bd≤ .
【点评】 难以置信的简明,这正是向量的半功伟绩之一,那么,向量在解析几
何中又能起作用吗?

【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且两两夹角均为60°,则对角线AC1之长为 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理,显然,这种方法需要较大的计算量,例如,确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢?这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗?利用向量岂不更为省事?
向量的数量积公式可以保驾护航.
对!走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示,
∴ 
=

=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴| |= . 例2题解图
【点评】 向量运算的优越性,由本例已可一览无遗,特别是| |2= 的运用奇妙.注意: 与 所成角等于 与 所成角,是60°而不是120°.
●对应训练
1如图,在棱长为a的正方体
ABCD—A′B′C′D′中,E、F
分别是AB、AC上的动点,满足AE=BF.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时,
求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图
2已知a,b∈R+,且a≠b,求证:(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).
3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图,以B为原点,直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,并设 =x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0),F(x,0,0),∴ =(x,-a,-a), =(-a,a-x,-a).
∵ • =(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0,
∴ ⊥ .
(2)VB′—BEF= S△EEF•| |= • (a-x)•x•a
= a(a-x)•x≤ a• ,
当且仅当a-x=a,即x= 时,
(VB′—BEF)max = ,
此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.
设垂足为M,连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图
由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,
设为θ,∵| |= ∴tanθ= .
即θ=arctan2 ,则二面角B′—EF—B的大小为arctan2 .
2设m=(a,b),n=(a2,b2), ∵m•n≤|m|•|n|.
∴a3+b3≤ ,即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).
3如图,设A(x1, ),B(x2, ),
C(x3, ),△ABC的垂心为H(x0,y0),
则 ,
, 第3题解图
∵ ,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0- • .
∵x1≠x2,∴x0-x3 .
∴x0+ (1)
同理:x0+ .
∴x2-x1=y0 .
∵x1≠x2,∴y0=-x1x2x3,代入 (1):x0- =x3 =0,
∴x0y0=1,即H(x0,y0)在双曲线xy=1上.

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张浩东
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