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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:41 pm

第30计 统计开门 存异求同
●计名释义
甲问:什么是“可能一统”?乙答:就是“可能性”完成大一统.
甲:此话怎讲?乙:排列、组合讲的是“可能状态”,概率讲的是“可能比值”,而统计则是对“各种可能”的计算,故称“可能一统”.
甲:这有什么意义呢?乙:现实意义,实际意义,应用意义.你不知道吗,如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲:不错!以往的高考应用题,多在函数、方程、不等式上打主意,自从新课标普及以来,应用题转到概率和统计上了.不过,这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢?乙:大概命题人也想到这点,因此近年的概统应用题,似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求:
(1)线性回归方程;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系,倘若记住了公式,便可以迅速解答出此题.
注:设所求的直线方程为 =bx+a,其中a、b是待定系数.

相应的直线叫做回归直线,对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
解:(1)列表如下: 
i 1 2 3 4 5
xi 2 3 4 5 6
yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0
x
4 9 16 25 36


于是b= ,
a= 0.08. ∴线性回归方程为: =bx+a=1.23x+0.08.
(2)当x=10时, =1.23×10+0.08=12.38(万元)
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的,应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系,或者说它们之间相关关系不显著时,即使求出回归方程也是没有意义的,而且其估计与预测也是不可信的.

【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求:
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率;
(2)3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡,可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个,相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次(事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”);(2)中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况,即事件A发生2次和发生3次,可用独立重复试验的方法求解.
【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A,则P(A)=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个,相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.
∴P3(2) =C (0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况,它们彼此互斥,相当于A发生2次和发生3次的概率和,即所求概率为P3(2)+P3(3)=0.441+C 0.73=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式Pn(k)=C •Pk•(1-p)n-k来求概率的步骤:①首先判断是不是独立重复试验;②求一次试验中事件A发生的概率P;③利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题,规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识,离散变量的概念,数学期望的定义;首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 (1)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:

ξ 0 1 2 3
P




甲答对试题数ξ的数学期望.
Eξ=0× +1× +2× +3× = 
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则
P(A)= P(B)=
因为事件A、B相互独立,
方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P( )=1- 
方法二:∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=P(A• )+P( •B)+P(A•B)=P(A)P( )+P( )•P(B)+P(A)P(B)= × + × + × = 
【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系,独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念,分布列的定义与求法,熟悉常用的分布列:0~1分布、二项分布,数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球,其彩球中有n(n≥2)个红球,5个蓝球,10个黄球,其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球(无白色)的概率是 ,求红球的个数,并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件,在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85,若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的,如果某地成年男子的身高ξ~N(173,72)(cm),问车门应设计多高?
4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系,抽取了5家餐厅,得到如下数据:
广告费用(千元) 1.0 4.0 6.0 10.0 14.0
销售额 (千元) 19.0 44.0 40.0 52.0 53.0
现要使销售额达到6万元,则需广告费用为 (保留两位有效数字).●参考答案
1.取3个小球的方法数为C =4060.
设“3个小球全是红球”为事件A,“3个小球全是蓝球”为事件B,“3个小球全是黄球”为事件C,则P(B)= ,P(C)= .
∵A、B、C为互斥事件,∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
即 =P(A)+ + P(A)=0.∴红球的个数≤2,又∵n≥2,故n=2.
记“3个小球至少有一个是红球”为事件D,则 为“3个小球没有一个红球”.
P(D)=1-P( )=1 .
2.①不采取任何预防措施时,总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);
②若单独采取措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元),所以总费用为45+40=85(万元).
③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元),所以总费用为30+60=90(万元)
④若联合采取甲、乙两种措施,则预防措施费用为45+30=75(万元),发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015,损失期望值为400×0.015=6(万元),所以总费用为75+6=81(万元)综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择甲、乙两种预防措施联合采用,可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm,由题意,需使P(ξ≥x)<1%.
∵ξ~N(173,72),∴P(ξ≤x)=Φ( )>0.99.
查表得 >2.33,∴x>189.31,即公共汽车门的高度应设计为190 cm,可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评:本题将正态分布的计算带入实际生活中,但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1,根据公式,先求出回归方程 =bx+a,令 =6,得x=1.5万元.
答案:1.5万元
点评:仍然是运用公式求回归直线的例子,只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式,便可迅速解答并且最终求出结果.

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张浩东
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