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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:42 pm

第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心,体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂,它就象一个遥控器,指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向,在图形与方程问题遇到困难的人,往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质,动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M(1,2),以y轴为准线,离心率e= . (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程;(2)求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M(1,2)为右顶点,则左顶点为P(1-2a,2).椭圆中心为(1-a,2),左准线为y轴.∴ -a=0,而e= . ∴ =2,有-3a+1=0,a= . 得点P1( ,2);如M(1,2)为左顶点,有P2(1,2),∴P1P2中点为( ,2).
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′( ,2)的椭圆.
【解答】 (1)设椭圆左顶点为M(x,y),则左焦点为F(x0,y0)=F(x+a-c,y),
∵e= ,且左准线为y轴, ∴ =0,
得a=x,c= = ,有:F ,由椭圆第二定义: = e= .
∴ ,化简得: ①
(2)椭圆①的长半轴a′= ,∴- ≤x- ≤ ,得x∈ .
原椭圆长半轴为a=x,∴2a=2x∈ .故原椭圆长轴最大值为2,最小值为 .
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,其中F1又是抛物线y2=4x的焦点,点A(-1,2),B(3,2)在双曲线上,(1)求点F2的轨迹方程;(2)是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点,若存在,求出实数m的值,不存在,说明理由.
【思考】 F1(1,0)为定点,∴|AF1|=2 =|BF1|为定值,设F2(x,y),则|F2A|-2 =±(F2B-2 ).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4 ,知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.
【解答】 (1)点F2的轨迹方程为直线l:x=1或椭圆 .(不含短轴两端,即不含(1,0),(1,4)解法略).
(2)如图,当椭圆与直线y=x+m相切时,直线与所求轨迹恰有两交点(-为切点,另-为切线与直线x=1的交点),其他情况下,若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点,若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点,由
∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.
此方程应有相等二实根,
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.
化简得:m2-2m-11=0,∴m=1±2 .
【小结】 探求轨迹,一要注意
其完备性也就是充分性:只要符合
条件的点都适合轨迹方程;二要
注意其纯粹性也就是必要性:只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图
以例2为例:若忽视了直线x=1(不含(1,0),(4,0))则不完备,若不除去(1,0),(4,0)则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O,实轴长为2,其中一个焦点坐标为F1(6,0),另一个焦点F2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时,求双曲线方程.
2.已知定直线l和线外一定点O,Q为直线l上一动点,△OQP为正三角形(按逆时针方向转),求点P的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O,实轴长为2,其中一个焦点坐标为F1(6,0),另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时,求双曲线方程.
4.已知抛物线C:y2=4x,(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程;(2)若M(m,0)是x轴上的一个定点,Q是(1)中所求轨迹上任意一点,求|MQ|的最小值.
●参考答案
1.设F2(x0,y0), ∵O(0,0)在双曲线上,
∴|OF2| - |OF1| =±2,|OF1|=6,
∴|OF2|=6±2,如|OF2|=8,则x20+y20=64 ①如|OF2|=4,则x20+y20=16 ②
当O、F1、F2共线时,F1、F2应在点O两侧,故上述轨迹中应分别不含(8,0),(4,0)设双曲线中心为M(x,y),则
③
③代入①:(2x-6)2+(2y)2=64, 即(x-3)2+y2=16(x≠7)
③代入②:(2x-62+(2y)2=16, 即(x-3)2+y2=4(x≠5)
(2)∵a=1,∴e= = c,且c=|MF1|= ,
如M的轨迹为(x-3)2+y2=16, 则c=
∵-4≤x-3<4,∴-1≤x<7
当x=-1时,cmax=7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4,则
∵-2≤x-3<2,∴1≤x<5,当x=1时,cmax=5,
于是取c=7,a=1,∴b2=48,又当x=-1时,由(x-3)2+y2=16,得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上,则所求方程为:(x+1)2- =1.
2.如图作OA⊥l于A,以直线OA为x轴,
过O且垂直于OA的直线为y轴建立
如图的直角坐标系,设A(a,0),则有
直线l:x=a,设|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ,则∠AOP=θ+
设P(x,y),∵d= ,
∴x= d cos (θ+ )= ( cosθ- sinθ) 第2题解图
= (1- tanθ),
y=dsin(θ+ )= ( sinθ+ cosθ)= (tanθ+ ).
于是得点P的参数方程: (θ为参数) 消去参数得:x+ y=2a.
3.(1)设F2(x0,y0),∵O (0,0)在双曲线上,∴|OF2| - |OF1|=±2,|OF1|=6,∴|OF2|=6±2,如|OF2|=8,则x20+y20=64 ①;如|OF2|=4,则x20+y20=16 ②,当O,F1,F2共线时,F1,F2应在点O两侧,故上述轨迹中应分别不含(8,0),(4,0).
设双曲线中心为O′(x,y),则 ③
③代入①:(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x≠7).
③代入②:(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5).
(2)∵a=1,∴e= = c,且c=|MF1|= ,
如M的轨迹为(x-3)2+y2=16,
则c= .
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,
当x= -1时,cmax =7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4,则c= .
∵-2≤x-3<2,∴1≤x<5当x=1时,cmax =5.
于是取c=7,a=1. ∴b2=48,又当x= -1时,由(x-3)2+y2=16,得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上,则所求方程为:(x+1)2 =1.
4.(1)如图设椭圆中心为O′(x0,0),
由于左焦点F(1,0),左准线x= -1,
∴x0=c+1,且x0+1= .
∴a2=c(x0-1)=x20-1,
b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2,
得椭圆短轴端点B(x0, ). 第4(1)题解图
设FB的中点为P(x,y),则:
消去x0:y2=x-1(x≥1).
(2)曲线y2=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示,其顶点为F(1,0).
显然当m≤1时,|MQ| min=1-m,即点M(m,0)到抛物线顶点F最近,当m>1时,以M(m,0)为圆心,R为半径的圆的方程为:(x-m)2+y2=R2.(*)
由 x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.
命Δ≥0,即(1-2m)2-4(m2-1-R2)=0, ∴R2≤ . (1)
当m≥ 时,R min= , 即|MQ|的最小值为 .
当1注:此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04•1~2期P72,63题,原题答案为:
当 ≤1,即m≤ 时,|MQ|无最小值;当 >1,即m> 时,|MQ| min= .笔者以为不妥,故重解如上,不当之处,请各位同仁指正.

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张浩东
【解元】
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