数学三十六计

第32计 立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】 “神舟六号”飞船上
使用一种非常精密的滚球轴承，
如图所示，该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm、3mm，
则这个轴承里最多可放
滚珠 个. 例1题图
【解答】 6如图，设两滚球P，Q相切
于点T，轴承中心为O，连接OT，
设滚球半径为d，内、外圆半径
分别为r、R，则R=3，d=r=1.
在Rt△OTP中，∠POT= ，OP=2，PT=1,
则有sin = ，
得α=2× = ，即在圆心角为 的轨道内， 例1题解图
可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）
时可放的滚珠为 =6个.
【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.
【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面四边形ABCD边长为3，高为4，在棱C1B1，C1D，CC上分别取一点M、N、L使C1M＝C1N＝1，C1L＝ .
(1)求证：对角线AC1⊥面MNL； （2）求四面体D—MNL的体积；
（3）求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.
【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;
(2)四面体D—MNL的体积不好求，可退而求四面体C1—MNL的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可；
（3）AM与面MAC1夹角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夹角的余弦.
【解答】 （1）如图所示，以D1为原点，直线D1A1，D1C1，D1D分别为x,y，z轴建立空间坐标系，
则有：A（3，0，4），C1（0，3，0）
∴ =(-3,3,-4)；L ，N(0,2,0),
∴ = ∵ • =0+3-3=0,
∴ ⊥ ,根据图形对称性，
同理有 ⊥ ，故AC1⊥平面MNL. 例2题解图
(2)四面体D—MNL与C1—MNL同底不等高，设其高分别为h1，h2，连C1D交NL于E.
∵D(0,0,4),
∴ =(0,-3,4),且 • =(0,-3,4)• =0.
∴ ⊥ ，知L、E、D、C在同一个圆上，| |•| |=| |•| |,
即 •4=| |•5.
∴| |= ，从而| |=5- = .
h1∶h2= .
易求VC1－MNL＝ •C1M•C1N•C1L= ×1×1× ，∴VD-MNL= = (立方单位).
(3)设AM与平面AC1成θ角，已证AC1⊥平面MNL，∴∠MAC1=90°-θ.
∵M(1,3,0),∴ =(-2,3,-4), • =(-2,3,-4)•(-3,3,-4)=6+9+16=31.
又｜ ｜= ,
｜ ｜= .
∴cos (90°-θ)= .从而sinθ= ，即AM与平面MNL所成角的正弦值为 .
【评注】 本题第（2)问另一解法：∵VD-MNL=VM-DNL，而S△DNL易求，且MC1⊥面DNL，从而VD-MNL = •S△DNL•MC1也不失为另一有效解法.
【例3】 （04•全国卷Ⅲ）如图，
四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，
AB=8，AD=4 ，侧面PAD为等边
三角形，并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：PA⊥BD.
【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥，
不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题，
否则是“瞎子点灯”——白费蜡，
因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图
2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.
【解答】 （Ⅰ）设O为P在底面的射影，作OE⊥AD于E，连PE，则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形，且边长为4 .
∴|PE|=4 sin60°=6，PO=6sin60°=3 .
∴VP—ABCD= •S□ABCD•PO= •8•4 •3 ]=96(立方单位).
(Ⅱ)以O为原点，平行于AD的直线为x轴，平行于AB的直线为y轴，垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.
则有P(0,0,3 )，A(2 ,-3,0)，B(2 ,5,0),D(-2 ,-3,0),
∴ =(2 ,-3,-3 ), =(-4 ,-8,0),
∵ • =-24+24+0=0. ∴ ⊥ .
●对应训练
1.如图所示，ABCD是边长
为2a的正方形，
PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，且PB=2MA=2a，
E是PD的中点
(1)求证：ME∥平面ABCD;
(2)求点B到平面PMD的距离;
(3)求平面PMD与平面
ABCD所成二面角的余弦值 第1题图
2.在正三棱锥S—ABC中，底面是边长为a的正三角形，点O为△ABC的中心，点M为边BC的中点，AM=2SO，点N在棱SA上，且SA=25SN.
(Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅱ）证明：SA⊥平面NBC.
3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的
平面垂直于平面ABCD，AB=AD，
AB⊥AD，AC=3 ，AC⊥BD，
垂足为M，N为BF的中点.
(1)求证：MN∥平面ADEF；
（2）求异面直线BD与CF所成角的大小；
（3）求二面角A-CF-D的大小. 第3题图
●参考答案
1.(1)延长PM、BA交于F，连接FD，FD、BC延长交于G，连接PG，
∵MA PB=a，
∴M为PF中点，又E为PD中点，
∴ME为△PFD中位线，ME∥FD，
而FD平面ABCD,
∴ME∥平面ABCD.
(2)MA PB时，A为FB的中点.
∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB，
∴D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图
∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，
故BH⊥平面PFG，BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.
Rt△PBD中，PB=2a，BD=2 a.
∴PD= =2 a，BH= a，即所求距离为 a.
(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且
cos∠PDB= ，即所求二面角的余弦值为 .
点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.
(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：
①若用S，S1，S2，S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S2=S 21+S 22+S 23
②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a，b，c，则其底面积：S=
③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a，b，c，且直角顶点到底面的距离为h，那么
h= .
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B—PFG为直角四面体，且BP=2a，BF=BG=4a
∴BH= 
2.(1)如图，正△ABC边长为a时，
AM= a，OM= AM= a.
SO= AM= a.
∠***A是二面角S—BC—A的平面角，
设为α，则tanα= .
∴面SBC与面ABC成arctan 的角. 第2题解图
(2)以O为原点，直线AM、OS分别为x,z轴，过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系，则有B( a, ,0)，M( a，0,0)，C ( a, ,0)，S (0,0, a).
∵ a，有A(- a，0，0).
∵ =(- a，0，- a)， =（0，a，0）， ∴ • =0, ⊥ .
又 = ，故有N( a，0， a). = a，0，- a).
故 • =（- a,0,- a）•（ a,0,- a）= - a2 +0+ a2 =0.
∴ ⊥ ，从而SA⊥平面NBC.
3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足为M，∴M为BD的中点，∵N为BF中点，∴MN∥DF
∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∵AC是FC在平面ABCD内的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
（3）在平面ACF内过M作MH⊥CF于H，连DH，
∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，
∴BD⊥面ACF，斜线DH在平面ACF内的射影是MH，
又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.
在等腰Rt△ABD中，DM= ，AM= ，∵AC=3 ，∴CM=2 ，CF= ,
∵△CMH∽△CFA,∴ ，∴MH= ,tanMHD = ,
∴二面角A-CF-D的大小为arctan .
方法二：（1）同法一；
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，
∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G，
∴MG⊥平面ABCD.
如图，建立空间直角坐标系M-xyz,
则C（2 ，0，0），B（0，- ，0），D（0， ，0），F（- ，0，2），
∴ =（0,2 ,0）， =（3 ,0,-2），∴ • =0，∴ ⊥ .
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.









第3题解图（1） 第3题解图（2） 第3题解图（3）
(3)设n=（x,y,z）是平面CFD的法向量，
∵ =（3 ，0，-2）, =（ ， ，-2）,
由 ，∴ ，令z=3，则x= ，y=2 ，
∴n=（ ，2 ，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF
∴平面ACF的法向量 =（0， ，0），则cos= .
∴二面角A-CF-D的大小为arccos .