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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:42 pm

第32计 立几开门 平面来风
●计名释义
空间型试题感到困难怎么办?退到平面去,平面是立体几何的基础,“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有:(1)展开图,把空间展到平面;(2)三视图,从不同的角度看平面;(3)射影图,把一个平面放到另一个平面去;(4)截面图,把我们关心的平面进行特写.如此等等,可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.
●典例示范
【例1】 “神舟六号”飞船上
使用一种非常精密的滚球轴承,
如图所示,该滚球轴承的内
外圆的半径分别为1mm、3mm,
则这个轴承里最多可放
滚珠 个. 例1题图
【解答】 6如图,设两滚球P,Q相切
于点T,轴承中心为O,连接OT,
设滚球半径为d,内、外圆半径
分别为r、R,则R=3,d=r=1.
在Rt△OTP中,∠POT= ,OP=2,PT=1,
则有sin = ,
得α=2× = ,即在圆心角为 的轨道内, 例1题解图
可放一个滚珠,故圆心角为周角(2π弧度)
时可放的滚珠为 =6个.
【点评】 本题考查了球体知识的相切问题,把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.
【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面四边形ABCD边长为3,高为4,在棱C1B1,C1D,CC上分别取一点M、N、L使C1M=C1N=1,C1L= .
(1)求证:对角线AC1⊥面MNL; (2)求四面体D—MNL的体积;
(3)求AM和平面MNL所成夹角的正弦值.
【思考】 (1)本题并不难,但其手法还是“退”,由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性,只需证AC1与LM、LN之一垂直即可;
(2)四面体D—MNL的体积不好求,可退而求四面体C1—MNL的体积,这两个四面体等底不等高,再退而求四面体对应高之比,然后将所求四面体C1—MNL的体积适当扩大即可;
(3)AM与面MAC1夹角的正弦不好求,可退而求AM、AC1夹角的余弦.
【解答】 (1)如图所示,以D1为原点,直线D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴建立空间坐标系,
则有:A(3,0,4),C1(0,3,0)
∴ =(-3,3,-4);L ,N(0,2,0),
∴ = ∵ • =0+3-3=0,
∴ ⊥ ,根据图形对称性,
同理有 ⊥ ,故AC1⊥平面MNL. 例2题解图
(2)四面体D—MNL与C1—MNL同底不等高,设其高分别为h1,h2,连C1D交NL于E.
∵D(0,0,4),
∴ =(0,-3,4),且 • =(0,-3,4)• =0.
∴ ⊥ ,知L、E、D、C在同一个圆上,| |•| |=| |•| |,
即 •4=| |•5.
∴| |= ,从而| |=5- = .
h1∶h2= .
易求VC1-MNL= •C1M•C1N•C1L= ×1×1× ,∴VD-MNL= = (立方单位).
(3)设AM与平面AC1成θ角,已证AC1⊥平面MNL,∴∠MAC1=90°-θ.
∵M(1,3,0),∴ =(-2,3,-4), • =(-2,3,-4)•(-3,3,-4)=6+9+16=31.
又| |= ,
| |= .
∴cos (90°-θ)= .从而sinθ= ,即AM与平面MNL所成角的正弦值为 .
【评注】 本题第(2)问另一解法:∵VD-MNL=VM-DNL,而S△DNL易求,且MC1⊥面DNL,从而VD-MNL = •S△DNL•MC1也不失为另一有效解法.
【例3】 (04•全国卷Ⅲ)如图,
四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,
AB=8,AD=4 ,侧面PAD为等边
三角形,并且与底面所成二面角为60°.
(Ⅰ)求四棱锥P—ABCD的体积;
(Ⅱ)求证:PA⊥BD.
【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥,
不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题,
否则是“瞎子点灯”——白费蜡,
因此,顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图
2.图中的三角因素很多,证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略.
【解答】 (Ⅰ)设O为P在底面的射影,作OE⊥AD于E,连PE,则∠PEO是二面角P—AD—O的平面角,有∠PEO=60°.已知△PAD为正三角形,且边长为4 .
∴|PE|=4 sin60°=6,PO=6sin60°=3 .
∴VP—ABCD= •S□ABCD•PO= •8•4 •3 ]=96(立方单位).
(Ⅱ)以O为原点,平行于AD的直线为x轴,平行于AB的直线为y轴,垂线OP所在直线为z轴建立如图的空间直角坐标系.
则有P(0,0,3 ),A(2 ,-3,0),B(2 ,5,0),D(-2 ,-3,0),
∴ =(2 ,-3,-3 ), =(-4 ,-8,0),
∵ • =-24+24+0=0. ∴ ⊥ .
●对应训练
1.如图所示,ABCD是边长
为2a的正方形,
PB⊥平面ABCD,
MA∥PB,且PB=2MA=2a,
E是PD的中点
(1)求证:ME∥平面ABCD;
(2)求点B到平面PMD的距离;
(3)求平面PMD与平面
ABCD所成二面角的余弦值 第1题图
2.在正三棱锥S—ABC中,底面是边长为a的正三角形,点O为△ABC的中心,点M为边BC的中点,AM=2SO,点N在棱SA上,且SA=25SN.
(Ⅰ)求面SBC与底面ABC所成二面角的大小;
(Ⅱ)证明:SA⊥平面NBC.
3.如图,边长为2的正方形ADEF所在的
平面垂直于平面ABCD,AB=AD,
AB⊥AD,AC=3 ,AC⊥BD,
垂足为M,N为BF的中点.
(1)求证:MN∥平面ADEF;
(2)求异面直线BD与CF所成角的大小;
(3)求二面角A-CF-D的大小. 第3题图
●参考答案
1.(1)延长PM、BA交于F,连接FD,FD、BC延长交于G,连接PG,
∵MA PB=a,
∴M为PF中点,又E为PD中点,
∴ME为△PFD中位线,ME∥FD,
而FD平面ABCD,
∴ME∥平面ABCD.
(2)MA PB时,A为FB的中点.
∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,DC∥AB,
∴D、C分别为FG、BG的中点. 第1题解图
∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG,∵PB⊥平面ABCD,∴PB⊥FG,故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H,必FG⊥BH,
故BH⊥平面PFG,BH之长是点B到平面PFG(也就是平面PMD)的距离.
Rt△PBD中,PB=2a,BD=2 a.
∴PD= =2 a,BH= a,即所求距离为 a.
(3)由(2)知FG⊥DB,FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角,且
cos∠PDB= ,即所求二面角的余弦值为 .
点评: (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化,一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形,最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体,以下的分析计算也就方便了.
(2)将正方体截下一个角,所得四面体由于有三条侧棱两两垂直,我们称这样的四面体为直角四面体,直角四面体有许多重要性质,其中最重要的有3条:
①若用S,S1,S2,S3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么:S2=S 21+S 22+S 23
②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a,b,c,则其底面积:S=
③若直角四面体的三条侧棱之长,依次为a,b,c,且直角顶点到底面的距离为h,那么
h= .
根据公式③本题第2问可轻而易举地解决:图中B—PFG为直角四面体,且BP=2a,BF=BG=4a
∴BH= 
2.(1)如图,正△ABC边长为a时,
AM= a,OM= AM= a.
SO= AM= a.
∠***A是二面角S—BC—A的平面角,
设为α,则tanα= .
∴面SBC与面ABC成arctan 的角. 第2题解图
(2)以O为原点,直线AM、OS分别为x,z轴,过O且平行于BC的直线为y轴建立如图的空间直角坐标系,则有B( a, ,0),M( a,0,0),C ( a, ,0),S (0,0, a).
∵ a,有A(- a,0,0).
∵ =(- a,0,- a), =(0,a,0), ∴ • =0, ⊥ .
又 = ,故有N( a,0, a). = a,0,- a).
故 • =(- a,0,- a)•( a,0,- a)= - a2 +0+ a2 =0.
∴ ⊥ ,从而SA⊥平面NBC.
3.方法一:(1)∵AB=AD,AC⊥BD,垂足为M,∴M为BD的中点,∵N为BF中点,∴MN∥DF
∵MN面ADEF,DF面ADEF,∴MN∥平面ADEF.
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,又∵FA⊥AD,∴FA⊥面ABCD,
∵AC是FC在平面ABCD内的射影,BD⊥AC,∴BD⊥CF,
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.
(3)在平面ACF内过M作MH⊥CF于H,连DH,
∵BD⊥AC,BD⊥CF,AC∩CF=C,
∴BD⊥面ACF,斜线DH在平面ACF内的射影是MH,
又CF⊥MH,∴CF⊥DH,∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.
在等腰Rt△ABD中,DM= ,AM= ,∵AC=3 ,∴CM=2 ,CF= ,
∵△CMH∽△CFA,∴ ,∴MH= ,tanMHD = ,
∴二面角A-CF-D的大小为arctan .
方法二:(1)同法一;
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,又∵FA⊥AD,∴FA⊥面ABCD,
∴平面FAC⊥平面ABCD,在平面FAC内作MG⊥AC交FC于点G,
∴MG⊥平面ABCD.
如图,建立空间直角坐标系M-xyz,
则C(2 ,0,0),B(0,- ,0),D(0, ,0),F(- ,0,2),
∴ =(0,2 ,0), =(3 ,0,-2),∴ • =0,∴ ⊥ .
∴异面直线BD与CF所成角的大小为90°.









第3题解图(1) 第3题解图(2) 第3题解图(3)
(3)设n=(x,y,z)是平面CFD的法向量,
∵ =(3 ,0,-2), =( , ,-2),
由 ,∴ ,令z=3,则x= ,y=2 ,
∴n=( ,2 ,3),∵MD⊥AC,∴MD⊥平面ACF
∴平面ACF的法向量 =(0, ,0),则cos= .
∴二面角A-CF-D的大小为arccos .

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