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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:43 pm

第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化,它不仅是数学解题的工具,又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度,不仅体现在解题工具上,更着力于思维取向的考查.导数,她像是一条腾跃的龙和开屏的凤,潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领,辨证思想的渗透,帮助着我们确立科学的思维取向.
●典例示范
【例1】 (2005年北京卷)过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率为 .
【分析】 本题中没有给出切线方程,而要我们求切点坐标和切线斜率,似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义,我们不妨一试.
【解答】 对于未给定切点的要先求导数,即y′=(ex)′.
设切点为(x0,e ),y′=ex,yx= x =e . 则切线方程为y-e =e (x-x0),
∵切线过(0,0)点,0-e =e (0-x0),∴x0=1,∴e =e,∴切点坐标为(1,e),切线斜率为e.
【点评】 求导既是一种解题方法,又是一种思维取向,故要求我们将方法与思维并存,表里合一,协调匹配.
【例2】 若函数f (x)=loga(x3-ax) (a>0,a≠1)在区间( ,0)内单调递增,则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 
【解答】 B 设u=x3-ax,则u′=3x2-a.
当a>1时,f (x)在 上单调递增,必须u′=3x2-a>0,即a<3x2在 上恒成立.又0<3x2< ,∴a≤0,这与a>1矛盾.
当03x2在 上恒成立,
∴a≥ 且(- )3 -a (- )>0,即a> ,故有 ≤a<1,故正确答案为B.
【点评】 此题是对数型复合函数,因真数含立方,故宜用导数解决.
【例3】 已知a∈R,讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)].
令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.
即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1,x2,不妨设x1f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).
从而有下表:
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
fˊ(x) + 0 - 0 +
f (x) ↗️ f (x1)为极大值 ↘️ f (x2)为极小值 ↗️

即此时f (x)有两个极值点.
(2)当在Δ=0,即a=0或a= 4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.
故当x0;当x>x2时,f′(x)>0.因此f (x)无极值.
(3)当Δ<0,即00,f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f (x)为增函数,此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时,f (x)有2个极值点,当0≤a≤4时,f (x)无极值点.
【点评】 此题虽不是求极值,但确定极值点个数实际上还是考查极值,解答时最好列表分析,便于确定极值点的个数.
●对应训练
1.已知函数f (x)= 的图象在点M(-1,f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f (x)的解析式; (2)求函数y=f (x)的单调区间.
2.已知函数f (x)= ,x∈[0,1].
(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域;
(Ⅱ)设a≥1,函数g (x)=x3-3a2x-2a,x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g (x)=f (x1)成立,求a的取值范围.
3.已知a≥0,函数f (x)=(x2-2ax)ex.
(Ⅰ)当x为何值时,f x)取得最小值?证明你的结论;
(Ⅱ)设f (x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
●参考答案
1.分析:由已知导出f (-1)=-2,结合f′(-1)= - ,易求出a、b的值.
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1,f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0,知-1+2f (-1)+5=0,即f (-1)=-2,f′(-1)= - .
∵f′(x)= ,∴

即 
解得a=2,b=3(∵b+1≠0,b= -1舍去).所以所求的函数解析式是f (x)= .
(2)f′(x)= .令-2x2+12x+6=0,解得x1=3-2 ,x2=3+2 ,当x<3-2 ,或x>3+2 时,f′(x)<0;
当3-2 0. 所以f (x)= 在(-∞,3-2 内是减函数;
在(3-2 ,3+2 )内是增函数; 在(3+2 ,+∞)内是减函数.
点评:本题主要考查函数的单调性,导数的应用等知识,考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2.解析:(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)= ,
令f′(x)=0解得x= 或x= .
当x变化时,f′(x)、f (x)的变化情况如下表:
x 0 (0, )

( ,1)
1
fˊ(x) + - 0 + -
f(x)
↘️ -4 ↗️ -3
所以,当x∈(0, )时,f (x)是减函数;
当x∈( ,1)时,f (x)是增函数;
当x∈[0,1]时,f (x)的值域为[-4,-3].
(Ⅱ)对函数g (x)求导,得g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1,当x∈(0,1)时,g′(x)<3(1-a2)≤0.
因此当x∈(0,1)时,g (x)为减函数,从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1),g(0)].
又g (1)=1-2a-3a2,g(0)= -2a,即当x∈[0,1]时有g (x)∈[1-2a-3a2,-2a].
任给x1∈[0,1],f (x1)∈[-4,-3],存在x0∈[0,1]使得g(x0)= f (x1),则
[1-2a-3a2,-2a] [-4,-3].

解①式得a≥1或a≤- ; 解②式得a≤ .
又a≥1,故a的取值范围为1≤a≤ .
点评:本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识,以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析:(Ⅰ)利用导数的性质解决问题.
(Ⅱ)利用函数f (x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件是x2≥1.(x=x2时f (x)取到极小值)
解:(Ⅰ)对函数f (x),求导数,得:f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=[x2+2x(1-a)x-2a]ex,令
f′(x)=0,得[x2+2(1-a)x-2a]ex=0,从而x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1- ,x2=a-1+ ,其中x1当x变化时,f′(x)、f (x)的变化如下表
x (-∞,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
fˊ(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗️ 极大值 ↘️ 极小值 ↗️
即f (x)在x=x1处取到极大值,在x=x2处取到极小值. 当a≥0时,x1<-1,x2≥0,f (x)在(x1,x2)为减函数,在(x2,+∞)为增函数,而当x<0时,f (x)=x(x-2a)ex>0,当x=0时,f (x)=0.
所以当x=a-1+ 时,f (x)取得最小值.
(Ⅱ)当a≥0时,f (x)在[-1,1]上为单调函数的充要条件是x2≥1,即a-1+ ≥1,解得:a≥ ,综上,f(x)在[-1,1]上为单调函数的充分必要条件为a≥ ,即a的取值范围是[ ,+∞).
点评:本小题主要考查导数的概念和计算,应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.

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张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
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生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
个人:

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