十月 2018
周一周二周三周四周五周六周日
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
293031    

日历 日历

投票
RSS


Yahoo! 
MSN 
AOL 
Netvibes 
Bloglines 


登录

找回我的密码


数学三十六计

向下

数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:44 pm

第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数,顾名思义,是种“参考数”.供谁参考,供主变量参考.因此,参数对于主元,是种宾主关系,他为主元服务,受主元重用.
在数学解题的过程中,反客为主,由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是,“参数何在,选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时,你有两种选择,一是参数就立足在面前,由你认定;二是参数根本不在,要你“无中生有”.
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+ =1上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知 与 共线, 与 共线,且 • =0,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】 四边形“没有”面积公式,因此难以用某边长为参数,建立面积函数式.
幸好,它有两条互相垂直的对角线PQ和MN,使得四边形面积可用它们的乘积来表示,然而,它们要与已知椭圆找到关系,还需要一个参数k,并找到PQ,MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.
【解答】 如图,由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),
且PQ⊥MN,直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率,不妨设PQ的斜率为k.
【插语】 题设中没有这个k,
因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它,是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k),还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】 又PQ过点F(0,1),故PQ方程为y=kx+1,将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx-1=0,设P、Q两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则
x1= ,
从而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 亦即|PQ|= .
【插语】 无论在椭圆方程中,还是P,Q,M,N的坐标中,x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)= 标志着主宾易位,问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时,MN的斜率为- ,同上可推得,
|MN|= ,
故四边形S= |PQ|•|MN|= .
令u=k2+ ,得S= .
因为u=k2+ ≥2,当k=±1时,u=2,S= ,且S是以u为自变量的增函数,所以
≤S<2.
【插语】 以上为本题解答的主干,以下k=0时情况,只是一个小小的补充,以显完善之美.其实,以“不失一般性”为由,设“k≠0”为代表解答亦可.这时,可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时,MN为椭圆长轴,|MN|=2 ,|PQ|= ,S= |PQ|•|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知,四边形PMQN面积的最大值为2,最小值为 .
【点评】 参数k将F(x,y)=0的方程转化为关于k的函数,达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色,有时在“反客为主”中成为主角.
【例2】 对于a∈[-1,1],求使不等式 恒成立的x的取值范围.
【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的,问题是下一步应当怎样走!你是以x为主,讨论二次不等式?还是以a为主,讨论一次不等式?其难易之分是显而易见的.
【解答】 y= 为R上的减函数,∴由原不等式得:x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈[-1,1]时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须 (-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y= 的最大值与最小值.
【解答一】 设tan =t,则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan ∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4•3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0,解得:2- ≤y≤2+ .
即ymax =2+ ,ymin =2- .
【解答二】 原式变形:sin x-y cos x=2y-3, sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1,∴ ≤|2y-3|.
平方化简得:3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】 本例中y是x的函数,而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域,可是本例的两种解法都是“反客为主”,或
通过转化为关于t的方程必有实数解,或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域,理
由是:这样解法简单,而且同样能达到目的.
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立,试求实数m的取值范围.
【解答】 反客为主,不看成关于sinθ的二次式,而看成关于m的一次式.
原不等式即:2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1,则0<1恒成立,此时m∈R.
如sinθ≠1,∵sinθ∈[-1,1],只能sinθ∈[-1,1),于是sinθ-1<0.
∴2m> 2-
∵ (1-sinθ)+ ≥2 .
当且仅当1- sinθ= ,即sinθ=1- 时, =2 ,
∴ =2-2 .
为使2m> 恒成立,只需2m>2-2 ,∴m>1- .
综合得:所求m的取值范围为:m∈(1- ,+∞).
【例5】 已知动点P为双曲线 =1的两个焦点,F1,F2的距离之和为定值,且cos∠F1PF2的最小值为 .
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若已知D(0,3),M、N在动点P的轨迹上,且 =λ ,求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆,
当P在椭圆上时,由cos∠F1PF2= <0,
知∠F1PF2必为钝角且为最大角,
则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上, =λ 时,
 与 必共线,可用设参、消参 例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点,命|PF1|= r1,|PF2|= r2,∵r1+r2=2a为定值,且
F1( ,0),F2( ,0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆,已知(cos∠F1PF2)min= .
而cos∠F1PF2= ,这里 >0,且r1r2≤ =a2,∴ ≥ ,从而
cos∠F1PF2≥ -1=1- ,
当且仅当r1=r2,即P为短轴端点时,1- = ,∴a2=9,∵c2=5,∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为: =1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外,设M(m,s),N(n,t)在椭圆上.
∵ =λ ,即(m,s-3)=λ(n,t-3),
∴ ∴ 
消去n2得: 
化简得:(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)
如λ=1,则 = ,M,N重合于一点,且为椭圆与直线DM的切点.
如λ≠1,有:t= ,∵|t|≤2,-2≤ ≤2,解得λ∈[ ,5].
【点评】 设参、消参及参数的讨论,历来是高考的重点和难点之一,特别当参数较多时,往往感到不得要领或无从下手,对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时,应逐渐消去非主要的参数,最终得到两个互相依存的参数,最后或通过均值不等式,或通过解一般不等式,或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.
【小结】 什么样的问题适合“反客为主”?如果问题本身并不繁难,大可不必画蛇添足,故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难,但题型单一,本来就无主次之分,也就无从反客为主.
所以,适合“反客为主”的问题,一定是正面比较繁难,而交换主突位置(例如含参变量的方程或函数)则相对容易破解问题.
●对应训练
1.求使A= 为整数的一切实数x.
2.已知方程组 同解,求m、n的值.
3.解关于x的方程:x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.
4.已知正项数列{an}中,a1=1,且Sn= ,求该数列的通项.
5.解方程x3+(1+ )x2-2=0.
●参考答案
1.反客为主,让x为A服务.
∵A-1= 当A∈Z时,亦有A-1∈Z.
若x+1=0,则A=1∈Z(x= -1).
若x+1≠0,有:A-1= ∈Z.这有两种可能.
(1) =±1. x2-4x+2=0,x=2± ;或x2-2x+4=0,无实数解,舍去.
(2) 是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1,得x=1或2.
故所求实数为x=-1,1,2,2± .相应的整数为A=1,3,4,2.
2.设两方程组的相同解为(x0,y0).


代入 .
3.反客为主,原方程改写为关于a的一元二次方程:
a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. [a-(x2-3x-1)]2 =(x-1)2
a=(x2-3x-1)±(x-1)
有x2-2x-2-a=0 ① 或x2-4x-a=0 ②
由①:(x-1)2 = a+3.
当a≥-3时,x=1± .
由②:(x-2)2=a+4.
当a≥-4时,x=2± . 故a<-4时,原方程无实根;
a∈[-4,-3)时原方程有两解:x=2± ;a∈[-3,+∞)时,原方程有四解:
x=1± ,x=2± .
4.反客为主,先求Sn再求an,∵2Sn=(S n - Sn-1)+ ,得:
2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.
∴S2n - S2n-1=1,∵a1=S1=1,令n=2,3,…,n,用叠加法可得S2n - S21=n-1.
∴Sn= ,得an=Sn - Sn-1= ,于是an= .
5.设a= ,原方程转化为:a2-ax2-x(x2+x)=0,即(a-x2-x)(a+x)=0,
∴x2+x=a或x= -a,
∵a= .
∴x2+x- =0 x= ± 或x=- .

[img][/img]

_________________
用快乐去奔跑,
用心去倾听,
用思维去发展,
用努力去奋斗,
用目标去衡量,
用爱去生活!
avatar
张浩东
【解元】
【解元】

男 双鱼座 猴
帖子数 : 80
威望值 : 169435
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

人物特征表
经验值:
7000/10000  (7000/10000)
个人:

返回页首 向下

返回页首


 
您在这个论坛的权限:
不能在这个论坛回复主题