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高考数学复习

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高考数学复习

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:51 pm

2008年高考数学第一轮复习知识点分类指导
一、集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.
(1)设P、Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q= ,若 , ,则P+Q中元素的有________个。(答:8)
(2)非空集合 ,且满足“若 ,则 ”,这样的 共有_____个(答:7)
2. “极端”情况否忘记 :集合 , ,且 ,则实数 =______.(答: )
3.满足 集合M有______个。 (答:7)
4.运算性质:设全集 ,若 , , ,则A=_____,B=___.(答: , )
5.集合的代表元素:(1)设集合 ,集合N= ,则 ___(答: );(2)设集合 , , ,则 _____(答: ) 
6.补集思想:已知函数 在区间 上至少存在一个实数 ,使 ,求实数 的取值范围。 (答: )
7.复合命题真假的判断:在下列说法中:⑴“ 且 ”为真是“ 或 ”为真的充分不必要条件;⑵“ 且 ”为假是“ 或 ”为真的充分不必要条件;⑶“ 或 ”为真是“非 ”为假的必要不充分条件;⑷“非 ”为真是“ 且 ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答:⑴⑶)
8.充要条件:(1)给出下列命题:①实数 是直线 与 平行的充要条件;②若 是 成立的充要条件;③已知 ,“若 ,则 或 ”的逆否命题是“若 或 则 ”;④“若 和 都是偶数,则 是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______(答:①④);
(2)设命题p: ;命题q: 。若┐p是┐q的必要而不充分的条件,则实数a的取值范围是 (答: )
9. 一元一次不等式的解法:已知关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为_______(答: )
10. 一元二次不等式的解集:解关于 的不等式: 。
(答:当 时, ;当 时, 或 ;当 时, ;当 时, ;当 时, )
11. 对于方程 有实数解的问题。(1) 对一切 恒成立,则 的取值范围是_______(答: );(2)若在 内有两个不等的实根满足等式 ,则实数 的范围是_______.(答: )
12.一元二次方程根的分布理论。
(1)实系数方程 的一根大于0且小于1,另一根大于1且小于2,则 的取值范围是_________(答:( ,1))
(2)不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围是____(答: )。
二、函 数
1.映射 : A B的概念。
(1)设 是集合 到 的映射,下列说法正确的是 A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象  C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的  D、 是 中所在元素的象的集合(答:A);(2)点 在映射 的作用下的象是 ,则在 作用下点 的原象为点________(答:(2,-1));(3)若 , , ,则 到 的映射有 个, 到 的映射有 个, 到 的函数有 个(答:81,64,81);(4)设集合 ,映射 满足条件“对任意的 , 是奇数”,这样的映射 有____个(答:12)
2.函数 : A B是特殊的映射。若函数 的定义域、值域都是闭区间 ,则 = (答:2)
3.若解析式相同,值域相同,但其定义域不同的函数,则称这些函数为“天一函数”,那么解析式为 ,值域为{4,1}的“天一函数”共有__个(答:9)
4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则):
(1)函数 的定义域是____(答: );(2)设函数 ,①若 的定义域是R,求实数 的取值范围;②若 的值域是R,求实数 的取值范围(答:① ;② )
(2)复合函数的定义域:(1)若函数 的定义域为 ,则 的定义域为__________(答: );(2)若函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为________(答:[1,5]).
5.求函数值域(最值)的方法:
(1)配方法―(1)当 时,函数 在 时取得最大值,则 的取值范围是___(答: );
(2)换元法(1) 的值域为_____(答: );(2) 的值域为_____(答: )(令 , 。运用换元法时,要特别要注意新元 的范围);3) 的值域为____(答: );(4) 的值域为____(答: );
(3)函数有界性法―求函数 , , 的值域(答: 、(0,1)、 );
(4)单调性法――求 , 的值域为______(答: 、 );
(5)数形结合法――已知点 在圆 上,求 及 的取值范围(答: 、 );
(6)不等式法―设 成等差数列, 成等比数列,则 的取值范围是____________.(答: )。
(7)导数法―求函数 , 的最小值。(答:-48)
6.分段函数的概念。(1)设函数 ,则使得 的自变量 的取值范围是____(答: );(2)已知 ,则不等式 的解集是___(答: )
7.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法―已知 为二次函数,且 ,且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。(答: )
(2)配凑法―(1)已知 求 的解析式___(答: );(2)若 ,则函数 =___(答: );
(3)方程的思想―已知 ,求 的解析式(答: );
8. 反函数:
(1)函数 在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是
A、  B、   C、   D、  (答:D)
(2)设 .求 的反函数 (答: ).
(3)反函数的性质:
①单调递增函数 满足条件 = x ,其中 ≠ 0 ,若 的反函数 的定义域为 ,则 的定义域是____________(答:[4,7]).
②已知函数 ,若函数 与 的图象关于直线 对称,求 的值(答: );
③(1)已知函数 ,则方程 的解 ______(答:1);
④已知 是 上的增函数,点 在它的图象上, 是它的反函数,那么不等式 的解集为________(答:(2,8));
9.函数的奇偶性。
(1)①定义法:判断函数 的奇偶性____(答:奇函数)。
②等价形式:判断 的奇偶性___.(答:偶函数)
③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 轴对称。
(2)函数奇偶性的性质:若 为偶函数,则 .
若定义在R上的偶函数 在 上是减函数,且 =2,则不等式 的解集为______.(答: )
④ 若 为奇函数,则实数 =____(答:1).
⑤设 是定义域为R的任一函数, , 。①判断 与 的奇偶性; ②若将函数 ,表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和,则 =____(答:① 为偶函数, 为奇函数;② = )
10.函数的单调性。
(1)若 在区间 内为增函数,则 ,已知函数 在区间 上是增函数,则 的取值范围是____(答: ));
(2)若函数 在区间(-∞,4] 上是减函数,那么实数 的取值范围是______(答: ));
(3)已知函数 在区间 上为增函数,则实数 的取值范围_____(答: );
(4)函数 的单调递增区间是________(答:(1,2))。
(5)已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ,求实数 的取值范围。(答: )
11. 常见的图象变换
①设 的图像与 的图像关于直线 对称, 的图像由 的图像向右平移1个单位得到,则 为__________(答: )
②函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答:2)
③将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么
  (答:C)
④函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如若函数 是偶函数,则函数 的对称轴方程是_______(答: ).
12. 函数的对称性。
①已知二次函数 满足条件 且方程 有等根,则 =_____(答: );
②己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是_______(答: );
③若函数 与 的图象关于点(-2,3)对称,则 =______(答: )
13. 函数的周期性。
(1)类比“三角函数图像”已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数,则方程 在 上至少有__________个实数根(答:5)
(2)由周期函数的定义
(1) 设 是 上的奇函数, ,当 时, ,则 等于_____(答: );(2)已知 是偶函数,且 =993, = 是奇函数,求 的值(答:993);(3)已知 是定义在R上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为T,则 ____(答:0)
(2)利用函数的性质
(1)设函数 表示 除以3的余数,则对任意的 ,都有 A、 B、 C、 D、 (答:A);
(2)设 是定义在实数集R上的函数,且满足 ,如果 , ,求 (答:1);(3)已知定义域为 的函数 满足 ,且当 时, 单调递增。如果 ,且 ,则 的值的符号是____(答:负数)
(3)利用一些方法
(1)若 , 满足 ,则 的奇偶性是______(答:奇函数);(2)若 , 满足 ,则 的奇偶性是______(答:偶函数);(3)已知 是定义在 上的奇函数,当 时, 的图像如右图所示,那么不等式 的解集是_____________(答: );


三、数  列
1、数列的概念:(1)已知 ,则在数列 的最大项为__(答: );(2)数列 的通项为 ,其中 均为正数,则 与 的大小关系为___(答: );(3)已知数列 中, ,且 是递增数列,求实数 的取值范围(答: );
A B C D
2.等差数列的有关概念:
(1)等差数列 中, , ,则通项     (答: );(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答: )
(1)数列 中, , ,前n项和 ,则 =_, =_(答: , );(2)已知数列 的前n项和 ,求数列 的前 项和 (答: ).
(4)等差中项
3.等差数列的性质:
(1)等差数列 中, ,则 =____(答:27);(2)在等差数列 中, ,且 , 是其前 项和,则A、 都小于0, 都大于0  B、 都小于0, 都大于0  C、 都小于0, 都大于0  D、 都小于0, 都大于0 (答:B)
等差数列的前n项和为25,前2n项和为100,则它的前3n和为 。(答:225)
(2)在等差数列中,S11=22,则 =______(答:2);(2)项数为奇数的等差数列 中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数(答:5;31).
设{ }与{ }是两个等差数列,它们的前 项和分别为 和 ,若 ,那么 ___________(答: )
(3)等差数列 中, , ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。(答:前13项和最大,最大值为169);(2)若 是等差数列,首项 ,
,则使前n项和 成立的最大正整数n是 (答:4006)
4.等比数列的有关概念:
(1)等比数列的判断方法:(1)一个等比数列{ }共有 项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则 为____(答: );(2)数列 中, =4 +1 ( )且 =1,若 ,求证:数列{ }是等比数列。
(2)等比数列的通项:设等比数列 中, , ,前 项和 =126,求 和公比 . (答: , 或2)
(3)等比数列的前 和:(1)等比数列中, =2,S99=77,求 (答:44);(2) 的值为__________(答:2046);
(4)等比中项:已知两个正数 的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为______(答:A>B)
有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求此四个数。(答:15,,9,3,1或0,4,8,16)奇数个数成等比,可设为…, …(公比为 );但偶数个数成等比时,不能设为… ,…,因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 。
5.等比数列的性质:
(1)在等比数列 中, ,公比q是整数,则 =___(答:512);(2)各项均为正数的等比数列 中,若 ,则 (答:10)。
(1)已知 且 ,设数列 满足 ,且 ,则      . (答: );(2)在等比数列 中, 为其前n项和,若 ,则 的值为______(答:40)
若 是等比数列,且 ,则 = (答:-1)
设等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,若 成等差数列,则 的值为¬¬_____(答:-2)
设数列 的前 项和为 ( ), 关于数列 有下列三个命题:①若 ,则 既是等差数列又是等比数列;②若 ,则 是等差数列;③若 ,则 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③)
6.数列的通项的求法:
已知数列 试写出其一个通项公式:__________(答: )
①已知 的前 项和满足 ,求 (答: );②数列 满足 ,求 (答: )
数列 中, 对所有的 都有 ,则 ______(答: )
已知数列 满足 , ,则 =________(答: )
已知数列 中, ,前 项和 ,若 ,求 (答: )
①已知 ,求 (答: );②已知 ,求 (答: );
①已知 ,求 (答: );②已知数列满足 =1, ,求 (答: )
数列 满足 ,求 (答: )
7.数列求和的常用方法:
(1)公式法:(1)等比数列 的前 项和Sn=2n-1,则 =_____(答: );(2)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”,如 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 ,那么将二进制 转换成十进制数是_______(答: )
(2)分组求和法: (答: )
(3)倒序相加法:①求证: ;②已知 ,则 =______(答: )
(4)错位相减法:(1)设 为等比数列, ,已知 , ,①求数列 的首项和公比;②求数列 的通项公式.(答:① , ;② );(2)设函数 ,数列 满足:
,①求证:数列 是等比数列;②令
,求函数 在点 处的导数 ,并比较 与 的大小。(答:①略;② ,当 时, = ;当 时, < ;当 时, > )
(5)裂项相消法:(1)求和: (答: );(2)在数列 中, ,且Sn=9,则n=_____(答:99);
(6)通项转换法:求和: (答: )
四、三角函数
1、 的终边与 的终边关于直线 对称,则 =_____。(答: )
若 是第二象限角,则 是第_____象限角(答:一、三);已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积。(答:2 )
2、三角函数的定义:(1)已知角 的终边经过点P(5,-12),则 的值为__。(答: );(2)设 是第三、四象限角, ,则 的取值范围是_______(答:(-1, );
3.三角函数线(1)若 ,则 的大小关系为_____(答: );(2)若 为锐角,则 的大小关系为_______ (答: );(3)函数 的定义域是_______(答: )
4.同角三角函数的基本关系式:(1)已知 , ,则 =____(答: );(2)已知 ,则 =____; =___(答: ; );(3)已知 ,则 的值为______(答:-1)。
5.三角函数诱导公式(1) 的值为________(答: );(2)已知 ,则 ______,若 为第二象限角,则 ________。(答: ; )
6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
(1)下列各式中,值为 的是 A、  B、  C、   D、  (答:C);
(2)命题P: ,命题Q: ,则P是Q的 A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件(答:C);(3)已知 ,那么 的值为____(答: );(4) 的值是______(答:4);(5)已知 ,求 的值(用a表示)甲求得的结果是 ,乙求得的结果是 ,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______(答:甲、乙都对)
7. 三角函数的化简、计算、证明
(1)巧变角:(1)已知 , ,那么 的值是_____(答: );(2)已知 为锐角, , ,则 与 的函数关系为______(答: )
(2)三角函数名互化(切割化弦),(1)求值 (答:1);(2)已知 ,求 的值(答: )
(3)公式变形使用设 中, , ,则此三角形是____三角形(答:等边)
(4)三角函数次数的降升函数 的单调递增区间为___________(答: )
(5)式子结构的转化(1) (答: );(2)求证: ;(3)化简: (答: )
(6)常值变换主要指“1”的变换已知 ,求 (答: ).
(7)“知一求二”(1)若 ,则 __(答: ),特别提醒:这里 ;(2)若 ,求 的值。(答: ); 8、辅助角公式中辅助角的确定:(1)若方程 有实数解,则 的取值范围是___________.(答:[-2,2]);(2)当函数 取得最大值时, 的值是______(答: );(3)如果 是奇函数,则 = (答:-2);(4)求值: ________(答:32)
9、正弦函数 、余弦函数 的性质:
(1)若函数 的最大值为 ,最小值为 ,则 __, _(答: 或 );(2)函数 ( )的值域是____(答:[-1, 2]);(3)若 ,则 的最大值和最小值分别是____ 、_____(答:7;-5);(4)函数 的最小值是_____,此时 =__________(答:2; );(5)己知 ,求 的变化范围(答: );(6)若 ,求 的最大、最小值(答: , )。
(3)周期性: (1)若 ,则 =___(答:0);(2) 函数 的最小正周期为____(答: );(3) 设函数 ,若对任意 都有 成立,则 的最小值为____(答:2)
(4)奇偶性与对称性:(1)函数 的奇偶性是______(答:偶函数);(2)已知函数 为常数),且 ,则 ______(答:-5);(3)函数 的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________(答: 、 );(4)已知 为偶函数,求 的值。(答: )
(5)单调性:
16、形如 的函数:
, 的图象如图所示,则 =_____(答: );
(1)函数 的图象经过怎样的变换才能得到 的图象?(答: 向上平移1个单位得 的图象,再向左平移 个单位得 的图象,横坐标扩大到原来的2倍得 的图象,最后将纵坐标缩小到原来的 即得 的图象);(2) 要得到函数 的图象,只需把函数 的图象向___平移____个单位(答:左; );(3)将函数 图像,按向量 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出 ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 );(4)若函数 的图象与直线 有且仅有四个不同的交点,则 的取值范围是 (答: )
(5)研究函数 性质的方法:(1)函数 的递减区间是______(答: );(2) 的递减区间是_______(答: );(3)设函数
的图象关于直线 对称,它的周期是 ,则A、  B、 在区间 上是减函数  C、   D、 的最大值是A(答:C);(4)对于函数 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 成轴对称;③图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到;④图像向左平移 个单位,即得到函数 的图像。其中正确结论是_______(答:②④);(5)已知函数 图象与直线 的交点中,距离最近两点间的距离为 ,那么此函数的周期是_______(答: )
的周期都是 , 但 的周期为 ,而 , 的周期不变;
中,若 ,判断 的形状(答:直角三角形)。
(1) 中,A、B的对边分别是 ,且 ,那么满足条件的 A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定(答:C);(2)在 中,A>B是 成立的_____条件(答:充要);(3)在 中, ,则 =_____(答: );(4)在 中, 分别是角A、B、C所对的边,若 ,则 =____(答: );(5)在 中,若其面积 ,则 =____(答: );(6)在 中, ,这个三角形的面积为 ,则 外接圆的直径是_______(答: );(7)在△ABC中,a、b、c是角A、B、C的对边, = , 的最大值为 (答: );(8)在△ABC中AB=1,BC=2,则角C的取值范围是 (答: );(9)设O是锐角三角形ABC的外心,若 ,且 的面积满足关系式 ,求 (答: ).
19.求角的方法(1)若 ,且 、 是方程 的两根,则求 的值______(答: );(2) 中, ,则 =_______(答: );(3)若 且 , ,求 的值(答: ).
五、平面向量
1、向量有关概念:
(1)向量的概念:已知A(1,2),B(4,2),则把向量 按向量 =(-1,3)平移后得到的向量是_____(答:(3,0))
下列命题:(1)若 ,则 。(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。(3)若 ,则 是平行四边形。(4)若 是平行四边形,则 。(5)若 ,则 。(6)若 ,则 。其中正确的是_______(答:(4)(5))
2、向量的表示方法:(1)若 ,则 ______(答: );(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 A. B. C. D. (答:B);(3)已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量 表示为_____(答: );(4)已知 中,点 在 边上,且 , ,则 的值是___(答:0)
4、实数与向量的积
5、平面向量的数量积:
(1)△ABC中, , , ,则 _________(答:-9);(2)已知 , 与 的夹角为 ,则 等于____(答:1);(3)已知 ,则 等于____(答: );(4)已知 是两个非零向量,且 ,则 的夹角为____(答: )
已知 , ,且 ,则向量 在向量 上的投影为______(答: )
(1)已知 , ,如果 与 的夹角为锐角,则 的取值范围是______(答: 或 且 );(2)已知 的面积为 ,且 ,若 ,则 夹角 的取值范围是_________(答: );(3)已知 与 之间有关系式 ,①用 表示 ;②求 的最小值,并求此时 与 的夹角 的大小(答:① ;②最小值为 , )
6、向量的运算:
(1)几何运算:
(1)化简:① ___;② ____;③ _____(答:① ;② ;③ );(2)若正方形 的边长为1, ,则 =_____(答: );(3)若O是 所在平面内一点,且满足 ,则 的形状为____(答:直角三角形);(4)若 为 的边 的中点, 所在平面内有一点 ,满足 ,设 ,则 的值为___(答:2);(5)若点 是 的外心,且 ,则 的内角 为____(答: );
(2)坐标运算:(1)已知点 , ,若 ,则当 =____时,点P在第一、三象限的角平分线上(答: );(2)已知 , ,则 (答: 或 );(3)已知作用在点 的三个力 ,则合力 的终点坐标是 (答:(9,1))
设 ,且 , ,则C、D的坐标分别是__________(答: );
已知向量 =(sinx,cosx), =(sinx,sinx), =(-1,0)。(1)若x= ,求向量 、 的夹角;(2)若x∈ ,函数 的最大值为 ,求 的值(答: 或 );
已知 均为单位向量,它们的夹角为 ,那么 =_____(答: );
如图,在平面斜坐标系 中, ,平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若 ,其中 分别为与x轴、y轴同方向的单位向量,则P点斜坐标为 。(1)若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以O为圆心,1为半径的圆在斜坐标系 中的方程。(答:(1)2;(2) );
7、向量的运算律:下列命题中:① ;② ;③ ;④ 若 ,则 或 ;⑤若 则 ;⑥ ;⑦ ;⑧ ;⑨ 。其中正确的是______(答:①⑥⑨)
(1)若向量 ,当 =_____时 与 共线且方向相同(答:2);(2)已知 , , ,且 ,则x=______(答:4);(3)设 ,则k=_____时,A,B,C共线(答:-2或11)
(1)已知 ,若 ,则 (答: );(2)以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB, ,则点B的坐标是________ (答:(1,3)或(3,-1));(3)已知 向量 ,且 ,则 的坐标是________ (答: )
10.线段的定比分点:
若点 分 所成的比为 ,则 分 所成的比为_______(答: )
(1)若M(-3,-2),N(6,-1),且 ,则点P的坐标为_______(答: );(2)已知 ,直线 与线段 交于 ,且 ,则 等于_______(答:2或-4)
11.平移公式:(1)按向量 把 平移到 ,则按向量 把点 平移到点______(答:(-8,3));(2)函数 的图象按向量 平移后,所得函数的解析式是 ,则 =________(答: )
12、向量中一些常用的结论:
若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、   (-1,-1),则⊿ABC的重心的坐标为_______(答: );
平面直角坐标系中, 为坐标原点,已知两点 , ,若点 满足 ,其中 且 ,则点 的轨迹是_______(答:直线AB)
六、不等式 1、不等式的性质:
(1)对于实数 中,给出下列命题:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ; ⑥ ;⑦ ;⑧ ,则 。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧);
(2)已知 , ,则 的取值范围是______(答: );
2. 不等式大小比较的常用方法:比较1+ 与 的大小(答:当 或 时,1+ > ;当 时,1+ < ;当 时,1+ = )
3. 利用重要不等式求函数最值
(1)下列命题中正确的是A、 的最小值是2 B、 的最小值是2 C、 的最大值是 D、 的最小值是 (答:C);(2)若 ,则 的最小值是______(答: );(3)正数 满足 ,则 的最小值为______(答: );
4.常用不等式有:如果正数 、 满足 ,则 的取值范围是¬_____(答: )
5、证明不等式的方法:
(1)已知 ,求证: ;(2) 已知 ,求证: ;(3)已知 ,且 ,求证: ;(4)已知 ,求证: ;
6.简单的一元高次不等式的解法:(1)解不等式 。(答: 或 );(2)不等式 的解集是____(答: 或 );(3)设函数 、 的定义域都是R,且 的解集为 , 的解集为 ,则不等式 的解集为____(答: );(4)要使满足关于 的不等式 (解集非空)的每一个 的值至少满足不等式 中的一个,则实数 的取值范围是_____.(答: )
7.分式不等式的解法:(1)解不等式 (答: );
(2)关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为____________(答: ).
8.绝对值不等式的解法:解不等式 (答: );若不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围为______。(答: )
9、含参不等式的解法:(1)若 ,则 的取值范围是_____(答: 或 );(2)解不等式 (答: 时, ; 时, 或 ; 时, 或 );(3)关于 的不等式 的解集为 ,则不等式 的解集为__________(答:(-1,2))
11.恒成立问题(1)设实数 满足 ,当 时, 的取值范围是______(答: );(2)不等式 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围_____(答: );(3)若不等式 对满足 的所有 都成立,则 的取值范围_____(答:( , ));(4)若不等式 对于任意正整数 恒成立,则实数 的取值范围是_____(答: );(5)若不等式 对 的所有实数 都成立,求 的取值范围.(答: )(6)已知不等式 在实数集 上的解集不是空集,求实数 的取值范围______(答: )

七、直线和圆
1、直线的倾斜角:(1)直线 的倾斜角的范围是____(答: );(2)过点 的直线的倾斜角的范围 值的范围是______(答: )
2、直线的斜率: (1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件(答:既不充分也不必要);(2)实数 满足 ( ),则 的最大值、最小值分别为______(答: )
3、直线的方程:(1)经过点(2,1)且方向向量为 =(-1, )的直线的点斜式方程是___________(答: );(2)直线 ,不管 怎样变化恒过点______(答: );(3)若曲线 与 有两个公共点,则 的取值范围是_______(答: )
过点 ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条(答:3)
4.设直线方程的一些常用技巧:
5、点到直线的距离及两平行直线间的距离:
6、直线 与直线 的位置关系:
(1)设直线 和 ,当 =_______时 ∥ ;当 =________时 ;当 _________时 与 相交;当 =_________时 与 重合(答:-1; ; ;3);(2)已知直线 的方程为 ,则与 平行,且过点(—1,3)的直线方程是______(答: );(3)两条直线 与 相交于第一象限,则实数 的取值范围是____(答: );(4)设 分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长,则直线 与 的位置关系是____(答:垂直);(5)已知点 是直线 上一点, 是直线 外一点,则方程 =0所表示的直线与 的关系是____(答:平行);(6)直线 过点(1,0),且被两平行直线 和 所截得的线段长为9,则直线 的方程是________(答: )
7、到角和夹角公式:已知点M是直线 与 轴的交点,把直线 绕点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是______(答: )
8、对称(1)已知点 与点 关于 轴对称,点P与点N关于 轴对称,点Q与点P关于直线 对称,则点Q的坐标为_______(答: );(2)已知直线 与 的夹角平分线为 ,若 的方程为 ,那么 的方程是___________(答: );(3)点A(4,5)关于直线 的对称点为B(-2,7),则 的方程是_________(答: );(4)已知一束光线通过点A(-3,5),经直线 :3x-4y+4=0反射。如果反射光线通过点B(2,15),则反射光线所在直线的方程是_________(答: );(5)已知ΔABC顶点A(3,-1),AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0,∠B的平分线所在的方程为x-4y+10=0,求BC边所在的直线方程(答: );(6)直线2x―y―4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则P的坐标是______(答:(5,6));(7)已知 轴, ,C(2,1), 周长的最小值为______(答: )。
9、简单的线性规划:
已知点A(—2,4),B(4,2),且直线 与线段AB恒相交,则 的取值范围是__________(答: )
(1)线性目标函数z=2x-y在线性约束条件 下,取最小值的最优解是____(答:(-1,1));(2)点(-2, )在直线2x-3y+6=0的上方,则 的取值范围是_________(答: );(3)不等式 表示的平面区域的面积是_________(答:8);(4)如果实数 满足 ,则 的最大值_________(答:21)
10、圆的方程:
(1)圆C与圆 关于直线 对称,则圆C的方程为____________(答: );(2)圆心在直线 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________(答: 或 );(3)已知 是圆 ( 为参数, 上的点,则圆的普通方程为________,P点对应的 值为_______,过P点的圆的切线方程是___________(答: ; ; );(4)如果直线 将圆:x2+y2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么 的斜率的取值范围是____(答:[0,2]);(5)方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为____(答: );(6)若 ( 为参数, , ,若 ,则b的取值范围是_________(答: )
11、点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则a的取值范围是______(答: )
12、直线与圆的位置关系:(1)圆 与直线 , 的位置关系为____(答:相离);(2)若直线 与圆 切于点 ,则 的值____(答:2);(3)直线 被曲线 所截得的弦长等于 (答: );(4)一束光线从点A(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是 (答:4);(5)已知 是圆 内一点,现有以 为中点的弦所在直线 和直线 ,则A. ,且 与圆相交   B. ,且 与圆相交  C. ,且 与圆相离 D. ,且 与圆相离(答:C);(6)已知圆C: ,直线L: 。①求证:对 ,直线L与圆C总有两个不同的交点;②设L与圆C交于A、B两点,若 ,求L的倾斜角;③求直线L中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 或   ③最长: ,最短: )
13、圆与圆的位置关系
双曲线 的左焦点为F1,顶点为A1、A2,P是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆位置关系为 (答:内切)
14、圆的切线与弦长:
设A为圆 上动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则P点的轨迹方程为__________(答: );
(2)弦长问题:
八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义:
(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:(1)已知定点 ,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A. B. C. D. (答:C);(2)方程 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)
(2)第二定义已知点 及抛物线 上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)
2.圆锥曲线的标准方程
(1)椭圆:(1)已知方程 表示椭圆,则 的取值范围为____(答: );(2)若 ,且 ,则 的最大值是____, 的最小值是___(答: )
(2)双曲线:(1)双曲线的离心率等于 ,且与椭圆 有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答: );(2)设中心在坐标原点 ,焦点 、 在坐标轴上,离心率 的双曲线C过点 ,则C的方程为_______(答: )
(3)抛物线:
3.圆锥曲线焦点位置的判断:
椭圆:已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答: )
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(1)若椭圆 的离心率 ,则 的值是__(答:3或 );(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答: )
(2)双曲线(1)双曲线的渐近线方程是 ,则该双曲线的离心率等于______(答: 或 );(2)双曲线 的离心率为 ,则 = (答:4或 );(3)设双曲线 (a>0,b>0)中,离心率e∈[ ,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答: );
(3)抛物线;设 ,则抛物线 的焦点坐标为________(答: );
5、点 和椭圆 ( )的关系:
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(- ,-1));(2)直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞));(3)过双曲线 的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);
(2)过双曲线 =1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。(1)过点 作直线与抛物线 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答: );(3)过双曲线 的右焦点作直线 交双曲线于A、B两点,若 4,则满足条件的直线 有____条(答:3);(4)对于抛物线C: ,我们称满足 的点 在抛物线的内部,若点 在抛物线的内部,则直线 : 与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);(5)过抛物线 的焦点 作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是 、 ,则 _______(答:1);(6)设双曲线 的右焦点为 ,右准线为 ,设某直线 交其左支、右支和右准线分别于 ,则 和 的大小关系为___________(填大于、小于或等于) (答:等于);(7)求椭圆 上的点到直线 的最短距离(答: );(8)直线 与双曲线 交于 、 两点。①当 为何值时, 、 分别在双曲线的两支上?②当 为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:① ;② );
7、焦半径(1)已知椭圆 上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答: );(2)已知抛物线方程为 ,若抛物线上一点到 轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;(3)若该抛物线上的点 到焦点的距离是4,则点 的坐标为_____(答: );(4)点P在椭圆 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答: );(5)抛物线 上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到 轴的距离为______(答:2);(6)椭圆 内有一点 ,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使 之值最小,则点M的坐标为_______(答: );
8、焦点三角形(1)短轴长为 ,离心率 的椭圆的两焦点为 、 ,过 作直线交椭圆于A、B两点,则 的周长为________(答:6);(2)设P是等轴双曲线 右支上一点,F1、F2是左右焦点,若 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为 (答: );(3)椭圆 的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当PF2→ •PF1→ <0时,点P的横坐标的取值范围是 (答: );(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e= ,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且 是 与 等差中项,则 =__________(答: );(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且 , .求该双曲线的标准方程(答: );
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:                              
10、弦长公式:(1)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8);(2)过抛物线 焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:(1)如果椭圆 弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是 (答: );(2)已知直线y=-x+1与椭圆 相交于A、B两点,且线段AB的中点在直线L:x-2y=0上,则此椭圆的离心率为_______(答: );(3)试确定m的取值范围,使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称(答: );
特别提醒:因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验 !
12.你了解下列结论吗?
与双曲线 有共同的渐近线,且过点 的双曲线方程为_______(答: )
13.动点轨迹方程:
已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答: 或 );
线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0) ,端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为 (答: ); 
(1)由动点P向圆 作两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=600,则动点P的轨迹方程为 (答: );(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线 的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______ (答: );(3) 一动圆与两圆⊙M: 和⊙N: 都外切,则动圆圆心的轨迹为 (答:双曲线的一支);
动点P是抛物线 上任一点,定点为 ,点M分 所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答: );
(1)AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点 ,使 ,求点 的轨迹。(答: );(2)若点 在圆 上运动,则点 的轨迹方程是____(答: );(3)过抛物线 的焦点F作直线 交抛物线于A、B两点,则弦AB的中点M的轨迹方程是________(答: );
已知椭圆 的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足 (1)设 为点P的横坐标,证明 ;(2)求点T的轨迹C的方程;(3)试问:在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S= 若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由. (答:(1)略;(2) ;(3)当 时不存在;当 时存在,此时∠F1MF2=2)
九、直线、平面、简单多面体
1、三个公理和三条推论:
(1)在空间四点中,三点共线是四点共面的_____条件(答:充分非必要);(2)给出命题:①若A∈l,A∈α,B∈l ,B∈α,则 l α;②若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB;③若l α ,A∈l,则A α ④若A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共线,则α与β重合。上述命题中,真命题是_____(答:①②④);(3)长方体中ABCD-A1B1C1D1中,AB=8,BC=6,在线段BD,A1C1上各有一点P、Q,在PQ上有一点M,且PM=MQ,则M点的轨迹图形的面积为_______(答:24)
2、直观图的画法(斜二侧画法规则):(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形,则原来图形的形状是(  )(答:A) (2)已知正 的边长为 ,那么 的平面直观图 的面积为_____(答: )
3、空间直线的位置关系:(1)空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边上的中点,则直线EG和FH的位置关系_____(答:相交);(2)给出下列四个命题:①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线;②两异面直线 ,如果 平行于平面 ,那么 不平行平面 ;③两异面直线 ,如果 平面 ,那么 不垂直于平面 ;④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。其中正确的命题是_____(答:①③)
4、异面直线的判定:(1)“a、b为异面直线”是指:①a∩b=Φ,但a不平行于b;②a 面α,b 面β且a∩b=Φ;③a 面α,b 面β且α∩β=Φ;④a 面α,b 面α ;⑤不存在平面α,能使a 面α且b 面α成立。上述结论中,正确的是_____(答:①⑤);(2)在空间四边形ABCD中,M、N分别是AB、CD的中点,设BC+AD=2a,则MN与a的大小关系是_____(答:MN5、异面直线所成角 的求法:(1)正四棱锥 的所有棱长相等, 是 的中点,那么异面直线 与 所成的角的余弦值等于____(答: );(2)在正方体AC1中,M是侧棱DD1的中点,O是底面ABCD的中心,P是棱A1B1上的一点,则OP与AM所成的角的大小为____(答:90°);(3)已知异面直线a、b所成的角为50°,P为空间一点,则过P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有____条(答:2);(4)若异面直线 所成的角为 ,且直线 ,则异面直线 所成角的范围是____(答: );
6、异面直线的距离的概念:(1)ABCD是矩形,沿对角线AC把ΔADC折起,使AD⊥BC,求证:BD是异面直线AD与BC的公垂线;(2)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,EF是异面直线AC与A1D的公垂线,则由正方体的八个顶点所连接的直线中,与EF平行的直线有____条(答:1);
7直线与平面的位置关系:(1)下列命题中,正确的是 A、若直线 平行于平面 内的一条直线b , 则 //  B、若直线 垂直于平面 的斜线b在平面 内的射影,则 ⊥b  C、若直线 垂直于平面 ,直线b是平面 的斜线,则 与b是异面直线  D、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等,且所有侧面与底面所成的角也相等,则它一定是正棱锥(答:D);(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是___________(答:线段B1C)。
10、直线与平面平行的判定和性质:
(1)α、β表示平面,a、b表示直线,则a∥α的一个充分不必要条件是 A、α⊥β,a⊥β      B、α∩β=b,且a∥b C、a∥b且b∥α D、α∥β且a β(答:D);(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥面AA1B1B。
11、直线和平面垂直的判定和性质:(1)如果命题“若 ∥z,则 ”不成立,那么字母x、y、z在空间所表示的几何图形一定是_____(答:x、y是直线,z是平面);(2)已知a,b,c是直线,α、β是平面,下列条件中能得出直线a⊥平面α的是  A、a⊥b,a⊥c其中b α,c α  B、a⊥b ,b∥α C、α⊥β,a∥β  D、a∥b,b⊥α(答:D);(3)AB为⊙O的直径,C为⊙O上的一点,AD⊥面ABC,AE⊥BD于E,AF⊥CD于F,求证:BD⊥平面AEF。

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用快乐去奔跑,
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用思维去发展,
用努力去奋斗,
用目标去衡量,
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张浩东
【解元】
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年龄 : 26
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班

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