数学三十六计

第4计 关羽开门 刀举成功

●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星，靠着扇子；关羽是武士，用的大刀. “过关斩将”用这大刀，“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等，讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再难的数学题，经过这七刀、八刀，最后不就粉碎了吗！

●典例示范
［例1］ （2006年四川卷第19题）
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、P分别是BC、A1D1的中点，M、N分别是AE、CD1的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
（Ⅰ）求证：MN∥面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角P—AE—D的大小；
（Ⅲ）求三棱锥P—DEN的体积.

［分析］ 这是个长方体，而“长”正好是“宽”和“高”的2倍，这正是“关羽开门”的对象：用刀从中一劈，则分成2个相等的正方体. 对于正方体，我们该多么熟悉啊！有关线段的长度，各线段间的位置关系，我们都了如指掌.

［解Ⅰ］ 取D1C1的中点Q ，过Q和MN作平面QRST. 显然，M、N都在这平面里.
易知QN和***都平行于平面BCC1B1 MN∥BCC1B1 MN∥面ADD1A1（证毕）.

［插语］ 其所以这么简单，是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来，感谢关羽的大刀之功. 以后的（Ⅱ）和（Ⅲ），都可转化到正方体里进行（从略）.

【例2】 (04•重庆卷题21)设p>0是一常数，过点Q（2p，0）的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）.
（Ⅰ）试证：抛物线顶点在圆H的圆周上；
（Ⅱ）并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 （Ⅰ）AB是圆H的直径，欲证抛物线的顶点在圆上，有如下各种对策：（1）证|OH|= |AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
（3）证∠AOB=90°,即OA⊥OB，等.
显然，利用向量知识证 =0,当为明智之举.
【解答】 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.
显然，满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直，设直线AB：y=tanα(x-2p),
x= ,代入：y=tanα• -2ptanα.即tanα•y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2= ,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2= +y1y2= -4p2=0.
∴ ,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值，为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式，直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时，弦AB之长最短(这就是论证方向)，为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立，得关于x（或y）的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2的函数式，再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立，得关于参数t的一元二次方程，利用韦达定理写出|AB|2=（t1-t2）2的函数表达式，再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长，但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐，利用投影公式得出的|AB|函数式，只牵涉一个变量.
【解答】（Ⅱ）直线AB的倾角为α,当α=90°时，⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时，不妨设α∈［0, )，则
综上，|AB|min=4p,当且仅当α=90°时，（S⊙H）min=4πp2,相应的直线AB的方程为：x=2p.
别解：由（1）知恒有∠AOB=90°.
∴| |2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p .
∵y1y2=-4p2,∴x1x2= 
于是| |2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时，S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门，只要你说要进去，直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…，an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式，并求 之值.
(2)证明02.矩形ABCD中,AB=6,BC=2 ,沿对角线BD将△ABD向上折起，使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.











●参考答案

1.分析： (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数，故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f 展开式的各项是系数成等差，字母成等比的综合数列，这
种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f 的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答： (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,
 = ；
(2)由(1)知an=2n-1.
∴f =1× ①
②
①-②:
f =
=
=
=1-
设g(x)= ,∵g′(x)=3-x+(x+1)•3-xln3• (-1)= .
∴g(x)是R+上的减函数，从而g(n)是N+上的减函数，［g(n)］max=g(1)= ,
又当n→∞时,g(n)→0,∴ ∈ ,从而f ∈ .
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转)，只是位置改变，而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系，在位置改变前后都没有改变，紧扣这一点，就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角，已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M，连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,
∵PB=6,
PD=2 ,∴BD=4 ,PM= =3,
已证PD⊥PC,∴PC= ,
PO= .
sin∠PMO= ,∠PMO=arcsin ,
即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin .
