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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:17 pm

第4计 关羽开门 刀举成功

●计名释义
关羽不同于诸葛. 诸葛是智星,靠着扇子;关羽是武士,用的大刀. “过关斩将”用这大刀,“水淹七军”用这大刀.
数学上的“分析”、“分解”、“分割”等,讲的都是刀工. 关羽的“切瓜分片”是什么意思?切者,七刀也,分者,八刀也!再难的数学题,经过这七刀、八刀,最后不就粉碎了吗!

●典例示范
[例1] (2006年四川卷第19题)
如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、P分别是BC、A1D1的中点,M、N分别是AE、CD1的中点,AD=AA1=a,AB=2a.
(Ⅰ)求证:MN∥面ADD1A1;
(Ⅱ)求二面角P—AE—D的大小;
(Ⅲ)求三棱锥P—DEN的体积.

[分析] 这是个长方体,而“长”正好是“宽”和“高”的2倍,这正是“关羽开门”的对象:用刀从中一劈,则分成2个相等的正方体. 对于正方体,我们该多么熟悉啊!有关线段的长度,各线段间的位置关系,我们都了如指掌.

[解Ⅰ] 取D1C1的中点Q ,过Q和MN作平面QRST. 显然,M、N都在这平面里.
易知QN和***都平行于平面BCC1B1 MN∥BCC1B1 MN∥面ADD1A1(证毕).

[插语] 其所以这么简单,是因为我们对正方体熟悉. 正方体从何而来,感谢关羽的大刀之功. 以后的(Ⅱ)和(Ⅲ),都可转化到正方体里进行(从略).

【例2】 (04•重庆卷题21)设p>0是一常数,过点Q(2p,0)的直线与抛物线y2=2px交于相异两点A、B,以线段AB为直径作圆H(H为圆心).
(Ⅰ)试证:抛物线顶点在圆H的圆周上;
(Ⅱ)并求圆H的面积最小时直线AB的方程.
【分析】 (Ⅰ)AB是圆H的直径,欲证抛物线的顶点在圆上,有如下各种对策:(1)证|OH|= |AB|.
(2)证|OA|2+|OB|2=|AB|2
(3)证∠AOB=90°,即OA⊥OB,等.
显然,利用向量知识证 =0,当为明智之举.
【解答】 (Ⅰ)当AB⊥x轴时,直线AB的方程为x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,∴|AB|=|y1-y2|=4p.
显然,满足|OQ|= |AB|,此时Q、H重合,∴点Q在⊙H上.
如直线AB与x轴不垂直,设直线AB:y=tanα(x-2p),
x= ,代入:y=tanα• -2ptanα.即tanα•y2-2py-4p2tanα=0.
此方程有不同二实根y1y2,
∴y1+y2= ,y1y2=-4p2.
∵ =x1x2+y1y2= +y1y2= -4p2=0.
∴ ,故点O仍在以AB为直径的圆上.
【分析】 (Ⅱ)为使圆面积最小只须圆半径取到最小值,为此不可避免的要给出直径AB之长的函数表达式,直观上我们已可推测到当AB⊥x轴时,弦AB之长最短(这就是论证方向),为此又有多种途径:
(1)用直线的点斜式与抛物线方程联立,得关于x(或y)的一元二次方程,利用韦达定理写出|AB|2的函数式,再用二次函数或均值不等式的知识求其最值.
(2)用直线的参数方程与抛物线方程联立,得关于参数t的一元二次方程,利用韦达定理写出|AB|2=(t1-t2)2的函数表达式,再依正、余弦函数的有界性求其最值.
这两种方法各有优长,但都须牵涉到两个变量x,y,以下我们推荐,利用投影公式得出的|AB|函数式,只牵涉一个变量.
【解答】(Ⅱ)直线AB的倾角为α,当α=90°时,⊙H的半径为2p,S⊙H=4πp2.
当α≠90°时,不妨设α∈[0, ),则
综上,|AB|min=4p,当且仅当α=90°时,(S⊙H)min=4πp2,相应的直线AB的方程为:x=2p.
别解:由(1)知恒有∠AOB=90°.
∴| |2=|
=
≥2x1x2+2p(x1+x2)
≥2x1x2+4p .
∵y1y2=-4p2,∴x1x2= 
于是| |2≥16p2,| |min=4p.当且仅当x1=x2=2p时,S⊙H=4πp2.
【点评】 斧子开门,只要你说要进去,直接在墙上打洞最直接了.

●对应训练
1.已知函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,n∈N+,且a1,a2,…,an构成一个数列{an},满足f(1)=n2.
(1)求数列{an}的通项公式,并求 之值.
(2)证明02.矩形ABCD中,AB=6,BC=2 ,沿对角线BD将△ABD向上折起,使点A移到点P,并使点P在平面BCD上的射影O在DC上(如图所示).
(1)求证:PD⊥PC;
(2)求二面角P—DB—C的大小.











●参考答案

1.分析: (1){an}的各项是f(x)展开式中各项的系数,故其各项和Sn=f(1).
(2)可以预见:f 展开式的各项是系数成等差,字母成等比的综合数列,这
种数列的求和方法是“错项相减”.
(3)f 的解析式必含变量n,为判断其范围可考虑用求导法判断其单调性.
解答: (1)∵f(1)=a1+a2+…+an=n2,
即Sn=n2,
∴an=Sn-Sn-1=2n-1,
 = ;
(2)由(1)知an=2n-1.
∴f =1× ①
②
①-②:
f =
=
=
=1-
设g(x)= ,∵g′(x)=3-x+(x+1)•3-xln3• (-1)= .
∴g(x)是R+上的减函数,从而g(n)是N+上的减函数,[g(n)]max=g(1)= ,
又当n→∞时,g(n)→0,∴ ∈ ,从而f ∈ .
2.分析:图形经过翻折(或平移、旋转),只是位置改变,而有关线段的长度、角度及原来的平行、垂直等关系,在位置改变前后都没有改变,紧扣这一点,就能悟出解题门道.
(1)为证PD⊥PC,须先证PD⊥平面PBC,已有PD⊥PB(翻折前为AD⊥AB),还须PD⊥BC.
(2)求二面角的要点是找出二面角的平面角,已有PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,只须作OM⊥BD即可.
解答: (1)由条件知PO⊥平面BCD于O,且O∈CD,BC⊥CD,∴BC⊥PD(三垂线定理),但PD⊥PB,∴PD⊥面PBC,从而PD⊥PC.
(2)作OM⊥BD于M,连接PM,则BD⊥PM(三垂线定理),∴∠PMO是二面角P—BD—C的平面角,
∵PB=6,
PD=2 ,∴BD=4 ,PM= =3,
已证PD⊥PC,∴PC= ,
PO= .
sin∠PMO= ,∠PMO=arcsin ,
即所求二面角P—DB—C的大小为arcsin .

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张浩东
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