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数学三十六计

向下

数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:19 pm

第8计 小姐开门 何等轻松
●计名释义
有一大汉,想进某屋. 门上并未加锁,但他久推不开,弄得满头大汗.
后面传来一位小姐轻轻的声音:“先生别推,请向后拉!”
大汉真的向后一拉,果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问:“这门上并没有写拉字,你怎么知道是拉门的呢?”
小姐答:“因为我看到你推了半天,门还不动,那就只有拉了!”
数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难,那就回头是岸,向反方向走去.

●典例示范
【例1】 求证:抛物线没有渐近线.
【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线,什么是渐近线?人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.
抛物线是否有这样的直线?我们无法直接给予证明.怎么办?“正难反收”,假定抛物线有渐近线,是否会导出不合理的结果?
【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ∵x= , 代入直线方程,化简得:ky2-2py+2pb=0. ①
可以认为:曲线与其渐近线相切于无穷远处,即如方程①有实根y0, 那么,y0→∞,或 , 方程①化为:2pby′2-2py′+k=0. ②
方程②应有唯一的零根, y′=0代入②得:k=0.
于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的,因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点( ), 因而y=b不是抛物线的渐近线,这就证明了:抛物线不可能有渐近线.


【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点(即坐标都是整数的点),求证:△ABC不是正三角形.
【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多,可以组成无穷无尽个各不相同的三角形,要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的,怎么办?正难反做!
【解答】 假定△ABC为正三角形,且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点,不妨设x2≠x1, ∵kAB= , ∴直线AB的方程为:
即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.


但是|AB|=
∴S△ABC = = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).
即S△ABC为有理数.另一方面,
S△ABC = ①
∵|AB|≠0, ∴S△ABC为无理数. ②
①与②矛盾,故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.

【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明:| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于
【分析】 三数中至少有一个不小于 的情况有七种,而三数中“都小于 ”的情况只有一种,可见“正面”繁杂,“反面”简明,也应走“正难反收”的道路.
【解答】 假定同时有:| f (1)|< 、| f (2)|< 、| f (3)|< , 那么:

①+③: -11<4a1+2a2<-9 ④
②×2: -9<4a1+2a2<-7 ⑤
④与⑤矛盾,从而结论成立.

【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义,一是头绪繁多,所以难于处理.因为“繁”,所以“难”,处理不当即陷入“剪不断,理还乱”的困境;二是试题的正面设置,使人感到无法可求,无章可循,从而找不到破解的头绪,从而无从下手.
遇到以上这两种情况,考生即应懂得“迷途知返”,走“正难反收”的道路.
一般地说,与排列组合、概率有关的试题,往往应走“正繁则反”的道路,而一切否定式的命题,则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价,只要推倒了命题结论的反面,正面自然顺理成章地成立.

●对应训练
1.k为何值时,直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.
2.已知α、β∈(0, ), 且sin(α+β)=2sinα.求证:α<β.
3.设a>b>c>0, 且a、b、c成等差数列,试证明: 不能组成等差数列.
4.求证:抛物线y= 上不存在关于直线y=x对称的两点.

●参考答案
1.正难反收,先解决k为何值时,直线可以垂直平分该抛物线的某弦,再求它的补
集,设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:

设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则kAB= , 设AB之中点为M(x0, y0), ∴y1+y2=2y0, y0= , 又由y0-1= k(x0-1),得x0= , 而M在抛物线内部.
∴y ∵k2-2k+2>0, ∴-22.假定α≮β,必
(1)α=β, 此时有sin2α=2sinα.
α、β∈(0, )时,sinα≠0, 必有cosα=1, 这与α∈(0, )矛盾;
(2)α>β,在(0, )内y=sinx为增函数,必sinα>sinβ>0, 由条件:
sinα(cosβ-2) +cosαsinβ=0.
∴ ∴cosα+cosβ>2,这是不可能的.
故α≥β不能成立,必有α<β.
3.假定 成等差数列, 必 , 即 
已知a,b,c成等差数列,∴b= .
故有: ∴a=c, 从而a=b=c, 这与已知a>b>c>0矛盾.
∴ 不能组成等差数列.
4.假定抛物线y= 上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a).
∵kAB= -1, 知a≠b. 有:
①-②:b-a = (a+b) (a-b). ∵a≠b, ∴a+b=-2 ③
③代入①:-2-a= . 即 a2+2a+3=0.
此方程无实根,故所设符合题设条件的点A(a, b),B (b, a)不存在.
也就是抛物线y= x2-1上不存在关于直线y=x对称的两点.

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张浩东
【解元】
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