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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:28 pm

第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
有道数学题,求证π> . 很多学生不知所措时,却有一学生说此题非常简单,不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者,就是整数3.
因为π>3,又3> ,所以π> .
这里的第三者,如同一个渡船,它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”,它是一个“三者牵线,截迂为直”的策略,在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样,可以是参数,可以是图形,当然也可以是函数、方程、不等式等.
●典例示范
【例1】 已知曲线C : ,求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.
【分析】 一般解法为“轨迹转移法”:(1)设P(x, y)是C1上的动点;(2)求出P(x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q(x′, y′), (3)将Q点坐标代入C的方程;(4)用x,y表示x′,y′,即得C1的方程.
此法甚繁,考虑到这里的对称轴直线的斜率为1,因此可以直接从中得到替换式.
【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得
即得C1的方程得 
【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线,现在拿来充当替代式,成了名符其实第三者“摆渡”.

【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动,求AB中点的轨迹方程.
【解答】 设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线y=x2上两点,那么:

设AB中点为M(x,y),那么: ,
有:
∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(1+4x2)(x1-x2)2 =(1+4x2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+4x2)[4x2-4(2x2-y)]
已知|AB|=2. ∴(1+4x2)(y-x2)=1所求点M的轨迹方程为:y=x2+
【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.

【例3】 椭圆 (a>b>0)的右准线是x=1,倾斜角为α= 的直线l交椭圆于A、B两点,已知AB的中点为M .
(1)求椭圆的方程;
(2)若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2= 的两点,求证:|kOP•kOQ|为定值.
【分析】 按常规,应设直线的斜截式方程,并代入椭圆方程,用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求,可这种方法计算量仍然太大.
请欣赏如下解法:
【解】 (1)椭圆的右准线为x=1,即 ∴a2=c,b2= a2-c2 = c-c2.
所求椭圆应为: 也就是 (1-c)x2+y2= c(1-c) ①
设弦AB的两端分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则:

∵kAB= ,又AB中点为M ,∴x1+x2=-1,y1+y2=
以上全代入②:1= , ∴1-c= ,c= ,代入①: x2+y2=
所求椭圆方程为:2x2+4y2=1.
(2)由(1)知椭圆方程:2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为(x1,y1),(x2,y2).
有: ③
∴|OP|2+|OQ|2= , ∴(x +y )+(x +y )= ④
③代入④:x +x + - (x +x )= ,
∴x +x = .

故|kOP•kOQ|= 为定值.
【点评】 本解的优点是:
1.为确定椭圆方程,须求两个参数a与b,这里先由准线的条件归为只须求一个参数c;
2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值,都需要利用弦AB或PQ的端点,这里只是抽象的设定而并不真的去求它,在解题过程中都自然地逐一消失,使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例4】 (05湖北卷21题)设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;
(Ⅱ)试判断是否存在这样的λ,使得A、B、C、D四点在同一个圆上?并说明理由.
【分析】 (1)已知弦的中点求弦所在直线的方程,故(1)可以实施“设而不求”;(2)判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.
【解答】 (1)∵点N(1,3)在椭圆3x2+y2=λ内,
∴3•12+32<λ,即λ>12,∴λ∈(12,+∞).
设AB两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有:

(1)-(2):3(x1-x2)(x1+x2)
+(y1-y2)(y1+y2)=0 (3)
∵N(1,3)是线段AB的中点,∴x1+x2=2,y1+y2=6. 代入(3): 例4题解图
6(x1-x2)+6(y1-y2)=0,于是kAB= ,故直线AB的方程为:y-3= -(x-1),即x+y-4=0.
(2)解法1:CD为AB的垂直平分线,且kAB=-1,∴kCD=1,直线CD:y-3=1•(x-1),即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是 :
∴代入椭圆方程得: ,即2t2+12-λ=0.(由(1)知λ>12),设此方程之二根为tA,tB,则tA•tB = 
直线CD的参数方程方程是:
代入椭圆方程得: ,即2t2-6 t+12-λ=0.
设此方程之二根为tC ,tD ,则tC•tD= 
由(4),(5)知|tA•tB|=|tC•tD|,也就是│AN│•│BN│=│CN│•│DN│,这就是说,存在λ>12,使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.
【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的(不论是计算题还是证明题),都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.
从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:(1)凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;(2)“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.(3)“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

●对应训练
1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动,求AB中点的轨迹方程.
2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点,且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.
3.已知直线y=-x+1与椭圆 (a>b>0)交于A、B两点,且线段AB的中点在直线
l:x-2y=0上.(1)求此椭圆的离心率;(2)若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4
上,求此椭圆的方程.
4.已知 ,(a>0,a≠1,x>0),判断f (x)的单调性,并证明你的结论.5.如图,已知直线l:x-ny=0(n∈N),
圆M:(x+1)2+(y+1)2 =1,
抛物线φ:y=(x-1)2,
l交M于A、B,
交φ于C、D,
求 第5题图
●参考答案
1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x1,y1),B (x2,y2)为抛物线y=x2上两点,那么:

设AB中点为M(x,y),那么:
有:
∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =(1+4x2 )(x1-x2)2
=(1+4x2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+4x2)[4x2-4(2x2-y)]
已知|AB|=2. ∴(1+4x2)(y-x2)=1 所求点M的轨迹方程为:y=
2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为:x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0.
即x2+y2+(λ-2)x+2λy-3λ=0 ①
此圆的圆心为D
半径R=
∵直线x+3y-4=0与圆相切.

化简得:λ2-4λ+4=0,∴λ=2.
代入①:x2+y2+4y-6=0 ②
②即为所求圆的方程.
3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.

得AB中点为M ,
∵点M在直线x-2y=0上,∴a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2),∴a2=2c2, e=
容易求得F(c,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为F′ .
代入x2+y2=4,得 c2 = 4,从而a2=2c2=8,b2=c2=4.
则所求椭圆方程为
4.无须先求函数的解析式.
设logax=t,则x= at,(t∈R).原函数式变形为:f (t)= 或 (x∈R).

这里a≠0,无论a>1或00,故f (x),从而原函数在其定义域内是增函数.5.无须分别求直线与曲线
的交点再求弦长,
如图,圆心M(-1,-1)到直线
x-ny=0的距离为:
∴|AB| 2=(2 2=
由 第5题解图
设此方程之二根为xC ,xD,则

|CD|2=(xC - xD)2+(yC - yD)2=
于是:

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张浩东
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