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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:35 pm

第21计 图表开门 信息传送
●计名释义
图表也是一种数学语言.这种语言以图形和表格的形式传送信息,它有立意新颖,设计灵活,构思精巧,内涵丰富,解法多样等特点,因而备受当今命题人的青睐,许多创新题型每每在图表上打主意.
解图表型题目应在读图表,识图表和用图表上找窍点,通过观察找到其中的关键点,有效地实现图表语言到文字语言的转化,从而在思考上引起质的飞跃,从而达到破题的目的.●典例示范
【例1】 如图,甲、乙两人分别
位于方格中A、B两处,从某一时刻开始
,两人同时以每分钟一格的速度向东或
西或南或北方向行走,已知甲向东、
西行走的概率均为 ,向南、北行走的
概率分别为 和p;
乙向东、西、南、北行走的概率均为q. 例1题图
(1)求p和q的值;
(2)试判断最少几分钟,甲、乙两人可以相遇,并求出最短时间内可以相遇的概率.
【分析】 同时进行两个相互独立事件,因为概率的总和为1,因此有以下解答.
【解答】 (1)甲向四个方向行走是一个必然事件,
∴ + + +p=1, ∴p= . 同理4q=1,∴q= .
【分析】 甲、乙二人到底在哪儿相遇没有定数,但我们可以看到,甲、乙二人在一个正方形的两个对角顶点上.他们要在最短时间内相遇,他们必须沿着这个正方形的边行走.
【解答】 (2)如解图,
设甲、乙两人在C、D、E处
相遇的概率分别为pC、pD、pE.
【插语】 从图形中来,
回到图形中去,在图上标明
这三点,让我们的思路一目了然,
才会有下面的解答.
【继解】 甲、乙两人最少需要2分钟可以相遇.
【插语】 每人朝对方走2步,
因为他们的速度相同(每分钟都是一格). 例1题解图
【继解】 则pC= , pD=2 ,
pE= × =
∴pC+pD+pE=  即所求的概率为 .
【评说】 这是一个几何图形信息题,具有多样性、直观性的特征,充分挖掘图形内涵,全方位地审视图形,全面掌握图形所提供的信息,以形助数是解决信息题的关键.
【例2】 函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的部分数值如下:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
y -80 -24 0 4 0 0 16 60 144 280

则函数y=lg f (x)的定义域为 .
【分析】 所求函数为复合函数,只需f (x)>0即可,但f (x)中含有四个系数a,b,c,d,所以先确定它们的值.
【解答】 设f (x)=a(x+1)(x-1)(x-2),而f (0)=4,∴a=2.
【插语】 为什么这样设?这来源于表格中y有三个0值点,关键点的选取,使我们的系数一下减少了3个. 此设是本题的一个突破口.
【续解】 ∴f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2).
要使y=lg f (x)有意义,则有f (x)=2(x+1)(x-1)(x-2)>0,
由数轴标根法解得-12.
∴函数y=lg f (x)的定义域为(-1,1)∪(2,+∞).
【评说】 本题把求函数解析式与高次不等式的解法巧妙地结合在一起,而且给出了多余的条件信息,属开放问题,这些正是题目命制的创新之处.解答这类信息过剩的问题时,要注意从众多的信息中,观察、分析、筛选,放弃无用的信息,挑选出与解题有关的信息,找到解题的突破口,这种能力正是在当今“信息大爆炸”的社会所需要的能力.
●对应训练
1.甲、乙两射击运动员进行射击训练比赛,射击相同的次数,已知两运动员射击的环数稳定在7,8,9,10环.他们的这次成绩画成频率分布直方图如图所示.
(1)根据这次训练比赛的成绩频率分布直方图,推断乙击中8环的概率P(ξ乙=8),并求甲,乙同时击中9环以上(包括9环)的概率;
(2)根据这次训练比赛的成绩估计甲,乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大).









第1题图
2.如图,小正六边形沿着大正六边形的边,按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半,如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,在这个过程中向量 围绕着点O旋转了θ角,其中O为小正六边形的中心,则sin = .








第2题图
●参考答案
1.(1)由图乙可知P(ξ乙=7)=0.2,P(ξ乙=9)=0.2,P(ξ乙=10)=0.35,
∴P(ξ乙=8)=1-0.2-0.2-0.35=0.25.
由图甲可知P(ξ甲=7)=0.2,P(ξ甲=8)=0.15,P(ξ甲=9)=0.3,
∴P(ξ甲=10)=1-0.2-0.15-0.3=0.35.
∵P(ξ甲≥9)=0.3+0.35=0.65,P(ξ乙≥9)=0.2+0.35=0.55.∴甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率为:
P=P(ξ甲≥9)×P(ξ乙≥9)=0.65×0.55=0.3575.
(2)∵Eξ甲=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8,
Eξ乙=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7, ∴Eξ甲>Eξ乙,所以估计甲的水平更高.
【评说】 条形统计图能直观反映各种数据,具有可比性、规律性.理解图形内容,找出变化趋势和规律,是解答条形图信息的关键.
2.从第一图的开始位置变化到第二图时,向量 绕点O旋转了 (注意 绕点O是顺时针方向旋转),从第二图位置变化到第三图时,向量 绕点O旋转了 ,则从第一图的位置变化到第三图位置时,正好小正六边形滚过大正六边形的一条边,向量 绕点O旋转了-π.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置,向量 绕点O共旋转了-6π,即θ= -6π,因而sin .
【评说】 本题要仔细阅读题意,分析图形,把握图形与题意的联系,可从简单情形,特殊位置入手,找到变化规律来解决问题.

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张浩东
【解元】
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