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数学三十六计

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数学三十六计

帖子 由 张浩东 于 周五 十二月 25, 2009 7:39 pm

第27计 方程开门 欲擒故纵
●计名释义
数学,顾名思义,是关于数的科学.于是,数的运算和求值就成了数学的首要内容.数学的主干内容——函数、方程和不等式都是关于数的内容.
方程和函数是从两个不同的方向研究数的关系.从映射的角度看问题,函数研究的是“从数到象”,而方程相反,研究的是“从象到数(原象)”.
方程解题步骤:(1)设x. 对数(原象x)先作假设;(2)放x. 把这个“假”x放到函数(笼子)中去.(3)关x. 按函数解析式的运算,列出一个等式——方程(笼子关闭).(4)擒x,解这个方程,把x抓出来.
●典例示范
【例1】 求二项式 展开式中的常数项.
【分析】 这是数学运算中的“求值”问题,解决问题的工具是函数和方程式,为了设方程,先得找函数.
【解答】 由二项展开式的通项公式Tr+1=C
【插语】 在n为常数的条件下,这是一个关于r的函数式T(r)=f(r)
【续解】 由此得Tr+1=C r=…=(-1)rC x 
欲Tr+1为常数,只须 =0.
【插语】 按“函数值”满足的条件,转入方程.
【续解】 解方程,得r=4.故所求的常数项为T5=(-1)4C =210.
【点评】 欲擒故纵是方程解题的基本策略.“欲擒”体现了列方程;“故纵”体现于将对象“放到”函数中去“入套”.
【例2】 求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.
【解答】 令x=sin20°cos70°+sin10°sin50°,构造与之对应的对偶式y=cos20°sin70°+cos10°cos50°,
则x+y=(sin20°cos70°+cos20°sin70°)+(sin10°sin50°+cos10°cos50°)
=sin90°+cos40°=1+cos40° ①
x-y=(sin20°cos70°-cos20°sin70°)+(sin10°sin50°-cos10°cos50°)
=sin(20°-70°)+cos(10°+50°)=-cos40°- ] ②
①+②得x= ,故sin20°cos70°+sin10°sin50°= .
【点评】 构造方程组,利用对偶方程组解决问题,是充分借助方程思想解题的方法之一.
【例3】 已知双曲线C:(1-a2)x2+a2y2=a2(a>1),设该双曲线上支的顶点为A,且上支与直线y=-x相交于P点,一条以A为焦点,M(0,m)为顶点,开口向下的抛物线通过点P. 设PM的斜率为k,且 ≤k≤ ,求实数a的取值范围.
【解答】 由双曲线方程知A(0,1),则抛物线方程为 x2=-4(m-1)(y-m),
由双曲线与直线相交解得点P的坐标为(-a,a),又因为点P在抛物线上,
∴a2=-4(m-1)(a-m) ①
而MP的斜率为k= ,故m=ak+a.
将m=ak+a代入①得a2=-4(ak+a-1) (-ak),
即4ak2+4(a-1)k-a=0 ②
根据题意,方程②在区间[ , ]上有实根.
令f (k)=4ak2+4(a-1)k-a,则其对称轴方程为 k= <0
∴ ≤a≤4. ∴实数a的取值范围为[ ,4].
【点评】 根据直线与圆锥曲线的位置关系,构造含参数的方程,转化为根的分布问题求解.
【例4】 (Ⅰ)已知数列{cn},其中cn=2n+3n,且数列{cn+1-pcn}为等比数列,求常数p的值;(Ⅱ)设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,求证:数列{cn}不是等比数列.
【解答】 (Ⅰ)由题意知c2-pc1,c3-pc2,c4-pc3成等比数列,
∴(c3-pc2)2=(c2-pc1)(c4-pc3),展开整理得 (c22-c1c3)p2+(c1c4-c2c3)p+c23-c2c4=0.
将c1=5,c2=13,c3=35,c4=97代入上式得p2=-5p+6=0,解得p=2或p=3.
而当p=2时, =3; 当p=3时, =2.均适合.
故满足条件的p的值为2或3.
(Ⅱ)假设数列{cn}是等比数列,则c22=c1c3,即(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3),
故(a1q+b1r)2=(a1+b1)(a1q2+b1r2),其中q,r分别是{an},{bn}的公比.
化简整理,得a1b1r2+a1b1q2-2a1b1qr=0,即(q-r)2=0,解得q=r.
这与题设中两数列公比不相等矛盾,因此数列{cn}不是等比数列.
【点评】 这里选取等比数列的前三项,根据等比中项的意义列方程求出p的值,再验证一般情况.第(Ⅱ)问的反证法中,也是通过构建方程获证.

●对应训练
1.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5= .
2.已知椭圆 =1(a>b>0),A,B的椭圆上两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(x0,0),求证: .
3.设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列 的前n项和,求Tn.
●参考答案
1.分析 本式为二项式展开式中的偶数项系数和,而不是偶数项二项式系数和,不能直接用二项式系数性质求解,但可用赋值法构造方程求解.
解:由于f (x)=(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5
令x=1得:f (1)=(2-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 ①
令x=-1得f (-1)=[2-(-1)]5=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35 ②
两式相加再除以2得:a1+a3+a5=-121.
2.证明 若AB的中点为M,
AB的垂直平分线为l:y=k(x-x0) ①
由于l与x轴相交,因此k≠0,故kAB= .
又kOM•( )= ,故kOM = ,
∴OM所在直线方程为y= x,代入①得 x=k(x-x0).
因此所证的结论变为方程的解在椭圆内的取值范围问题.
故由上述方程解得x= x0. (x为点M的横坐标)
但点M在椭圆 =1内部,即-a< x0解得- 点评 用方程思想解决某些范围问题特别简单,容易找出问题的突破口.
3.设等差数列{an}的前n项和Sn=an2+bn.
由S7=7,S15=75,得 即 解得a= ,b= 
∴Sn= n2 n. ∴ .
∴数列 是首项为-2,公差为的等差数列.
故Tn= n2 n.
点评 因为等差数列(公差不为0)的前n项和公式是关于n的二次函数,因此可将等差数列的前n项和直接设为Sn=an2+bn的形式,往往能达到化繁为简的目的.

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张浩东
【解元】
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