数学三十六计

第5计 才子开门 风情万种

●计名释义
所谓才子，就是才思繁捷的弟子. 数学才子，也像画学才子一样，胡洒乱泼，墨皆成画. 这里，人们看到的“胡乱”只是外表. 在里手看来，科学的规律，艺术的工夫，全藏肘后. 别人肩上的重负，移到他的掌上，都成了玩意儿.

●典例示范
［引例］ 试比较以下三数的大小： ， ，

［解一］ 建构函数法
设f (x) = f＇(x)= ln ≤0 f (x)为减函数 > >

［旁白］ 才子一看，发现是个错解，于是有以下的评语.

［评语］ 学了导数可糟糕，杀鸡到处用牛刀，单调区间不清楚，乱用函数比大小.

［解二］　作差比较法
- = <0
- = >0

［旁白］ 才子一看，答案虽是对的，但解题人有点过于得意，因此得到以下评语.

［评语］解题成本你不管，别人求近你走远，作差通分太费力，面对结果向回转.

［旁白］ 大家听才子这么说，纷纷要求才子本人拿出自己的解法来，于是有了以下的奇解.
［奇解］ × = <1 × = >1 > >

［旁白］ 大家一看，十分惊喜，但对解法的来历有点奇怪. 于是才子有了如下的自评.

［自评］ 标新本来在立意，别人作商我作积，结果可由心算出，不用花费纸和笔.

［旁白］ 这时，上面那位提供解法一的人有点不服气：难道“求导法”就不能解出此题吗？
才子回答：当然能！不过需要“统一单调区间”，请看下解
［正解］ f (x) = f＇(x)= ln <0 (x≥3)
> > > >

［旁白］ 大家一看，齐声说妙，要求才子再评说一下. 于是又有了下面的奇文.

［评语］ 因为数3比e大，单调区间从3划，数4也在本区间，故把数2搬个家.


【例1】 已知向量a=( ，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a•b= ，则b= ( )
A．( ， ) B．( , ) C.( ) D．（1，0）
【特解】 由|b|=1，排除C；又b与x轴不平行，排除D；易知b与a不平行，排除A.答案只能为B.
【评说】 本解看似简单，但想时不易，要看出向量b与A( )是平行向量，一般考生不能做到.
【别解】 因为b是不平行于x轴的单位向量，可排除C、D两项. 又a•b= ,将A代入不满足题意,所以答案只能为B.
【评说】 本题通过三次筛选才得出正确答案,思维量很大,到A、B选项时还需动手计算，真是淘尽黄沙始是金啊！
【另解】 设b=(cosα,sinα),则a•b=( ,1)•(cosα,sinα)= cosα+sinα= sin(60°+α)= 在区间（0，π）上解α得：α=60°.
故b=( ).
【评说】 本题涉及解三角方程，并确定解答区间，这不是一个小题的份量.
【错解】 选A者,误在( a，
选C者,误在|（ ）•a|=1.
选D者，没有考虑到（1，0）与x轴平行.
【评说】 本题三个假支的设计，其质量很高，各有各的错因，相信各有各的“选择人”.

●对应训练
1.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x•f(x)<0}等于 （ ）
A.{x|x>3或-3C.{x|x>3或x<-3} D.{x|02.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)

●参考答案
1.分析 由函数的奇偶性和单调性概念入手，结合其草图即可写出所求答案.
解析一 由f(x)为奇函数且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+∞)上是增函数,据上述条件作出满足题意的y=f(x)草图(如图（1）),在图中找出f(x)与x异号的部分,可以看出x•f(x)<0的解集为{x|0







(1) (2)

解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴作出y=f(x)(x>0)的草图(如图（2）),∵x、f(x)均为R上的奇函数,∴x•f(x)为偶函数,∴不等式x•f(x)<0的解集关于原点对称,故先解 借助图象得0解析三 借助图（1）或图（2）,取特殊值x=2,知适合不等式x•f(x)<0,排除A、C;又奇•奇=偶,∴x•f(x)为偶函数,解集关于原点对称,又可排除B,故选D.
【点评】 本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的有关内容.正确理解,掌握相关性质,是解题的基础与关键.在选择题中,如果出现抽象函数,一般用特殊值法会比较快捷,如解析三,判断抽象函数单调性的基本方法是定义法,如果掌握了一些基本规律,可简化解题过程,如解析二.
奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)•奇(偶)=偶.
数形结合是解题的常用技巧,对于某些题目,做题时无需精确作图,只要勾画出图象的大体结构,作出草图即可.
2.【分析】 排列组合解应用题.6个元素作有限制的排列,其中4个元素有先后顺序.并且C，D捆绑之后成为一个元素.问题有一定的难度.加法原理和乘法原理都能考虑.
【通解】 考查有条件限制的排列问题，其中要求部分元素间的相对顺序确定：据题意由于丁必须在丙完成后立即进行，故可把两个视为一个大元素，先不管其它的限制条件，使其与其他四人进行排列共有A 种排法，在所有的这些排法中，甲、乙、丙相对顺序共有A 种，故满足条件的排法种数共有 =20.
【正解】 5个元素设作A,B,（C,D）,x,y.将排列种数分两类:
第一类,x,y相连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C =8种方法.
第二类,x,y不连,在A,B,（C,D）之间或两头插位,有2C =12种方法.
【评说】 先分类:“相连”与“不连”为完全划分；后分步：第1步组合，第2步排列，也是完全划分.
【另解】 5个元素设作A，B，（C，D），x,y.五个时位设作a,b,(c,d),e,f.
第1步考虑元素x到位，有5种可能；
第2步考虑元素y到位，有4种可能；
第3步，A，B，（C，D）按顺序到位，只1种可能.
由乘法原理，方法总数为5×4=20种.
【评说】 “另解”比“正解”简便，但思维要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3个位置上，A，B，（C，D）按序到位情况只1种.——这点，一般学生不易想通.
【别解】 设所求的排法总数为x种，在每1个排好的队列中，取消A，B，（C，D）3元素的限序，则有xP3=P5 x= =5×4=20.
【评说】 别解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.