数学三十六计

第9计 瞎子开门 伸手摸缝

● 计名释义
命题人本来为解题人设计了“题门”，即所谓题目的入口处.但对“瞎子”来讲，他不是在看，而是用手去摸.在摸的过程中，他没有能力关心整个大门，而只是关心这个门的门缝.如果遇上了门缝，他便将手伸到门的后面，轻轻地把门闩拉掉，题门也就随之开了.

●典例示范
［例题］（2005年鄂卷第22题）
已知不等式 ，其中n为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数 设数列{ }的各项为正，且满足 ，
（Ⅰ）证明： ， ；
（Ⅱ）猜测数列{ }是否有极限？如果有，写出极限的值；
（Ⅲ）试确定一个正整数N，使得当n>N时，对任意b>0，都有
［分析］ 此题有3扇门，即题问（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）.用手去摸，发现（Ⅱ）是个门缝，因为（Ⅱ）最轻便：一是“猜”，二是“写出”（不要求说道理）.
于是，可以把手伸到（Ⅰ）的后面，把（Ⅱ）当作门闩抽掉.
［解Ⅱ］ 因为0 < an < 而后者的极限是0，所以an的极限是0.
［插语］ 解（Ⅱ）之时，承认并利用了（Ⅰ）的结果.
［评说］ 这么难的压轴题，竟这么容易地拿下了它的三分之一.即使最后不能攻下（Ⅰ），而（Ⅱ）的分数却已经拿到手了.
拿下（Ⅱ）之后，可以直抓后面的（Ⅲ）.既然an→0，那么要它an< ，那就解不等式求N罢了.这时，仍然可以把（Ⅰ）的结果当作已知.
［解Ⅲ］ （放大为了化简）
令 ，
故取N=1024，可使当n>N时，都有
［插语］ （Ⅱ），（Ⅲ）已破，题门大开，回师攻（Ⅰ）形势更好.
［解Ⅰ］ 问题简化为
已知：① ②
求证：③
［插语］ 先抓住求证式③，其右边的分母中有变量 ，顺藤摸瓜，找到已知式①中的 ，不过它却在“分子”上.至此，快摸到问题（Ⅰ）的“门闩”.
［续解］ 式③变为
得式④ .
［插语］ 式④即为题（Ⅰ）的门闩.
以下用式④与式②连接，从式②中变出 .
［续解］ 由式②得
得式⑤
依次令n=2,3,4,……¬¬¬¬¬¬得
…
两边相加得 ⑤
代式① 于⑤
得 .这就是要证的式④.
从而证得式③： ，即问题（Ⅰ）得证.
［插语］ 变③为④，用的是分析法.变①、②为⑤，用的是综合法.
条件（①，②）不等式（③）的证明，经常利用“分析—综合法”进行两边夹攻.
［评论］ 本题是一道难度很高的压轴大题，“伸手摸缝”的策略，改变了命题人原来设定的解题顺序，即从（Ⅰ）到（Ⅱ）、再到（Ⅲ）的一般顺序.从而使得易解的（Ⅱ）成为该大题的“题缝”.
对于最难的题（Ⅰ），仍然采用了中间突破的办法，成功的关键也是从中找到了题（Ⅰ）的题缝： ，实际上，不等式的证明中，分析法与综合法的接头处，正是问题的题缝.

●对应训练
对以上例题第（Ⅰ）问改为如下的问题：
已知不等式 ，其中n为大于2的整数， 表示不超过 的最大整数 设数列{ }的各项为正，且满足 ，
（Ⅰ）设f(n)= ,用数学归纳法证明： ；
（Ⅱ）求证： ， ；

●参考答案
［分析］　本题的（Ⅰ）、（Ⅱ）问，显然第（Ⅱ）问比第（Ⅰ）问容易.因此我们可以先解第（Ⅱ）问，这时必需把第（Ⅰ）问的结果当作已知——题门从后面拨开.
解（Ⅱ）： 由已知不等式
得 ≤
解（Ⅰ）： 设 ，利用数学归纳法证不等式

（ⅰ）当n=3时，由 ，
知不等式成立
（ⅱ）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即 ，则

即当n=k+1时，不等式也成立
由（ⅰ）（ⅱ）知，
［插语］ 数学归纳法证题，在k到k+1之间，存在着一个“题缝”.从k正推，属综合法；由k+1反推，属分析法.“题缝”就藏在综合与分析的“接头处”.从考场策略上讲，若在“接头处”遇上困难，可用“因为——所以”的模糊法把前后的“裂缝拉拢”，以便逃脱阅卷人的苛求.
［说明］ 这里的解答，把（Ⅱ）放在（Ⅰ）的前面，只是“草纸”上的思考顺序.真正在试卷上答题时，仍应把第（Ⅰ）问的解答放在前面，除非对（Ⅰ）没有解出.