数学三十六计

第10计 聋子开门 慧眼识钟
●计名释义
一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.
上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？
其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.
聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.
为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.

●典例示范
【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+…+a x2008(x∈R), 则
(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+…+(a0+a2008)= (用数字作答)
【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+…+a2008=1, ∴原式=2008a0+a1+a2+…+a2008=2007+(a0+a1+…a2008)=2007+1=2008.
【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.

【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：①若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；②若对x∈R, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；③若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；④函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .
【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，①正确；f (x)= f［(x+1)-1］= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，②不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，③正确；④显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.
【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.

【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (x∈R).有下列三个结论：①f (x)的值域为R; ②f (x)是R上的增函数；③对任意x∈R, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).
【解答】 由y (2x)2-y•2x-1=0.
关于2x的方程中，恒有Δ=y2+4>0. ∴y∈R ①真.
∵y1=2x, y2= 都是R上的增函数，∴y=y1+y2=2x-2 也是R上的增函数，②真.
∵f (-x)=2 -2x = -(2x-2 )=-f (x),
∴当x∈R时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) ③真.
【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.
正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.
本例是“全选”（即“都是”）的题型.

●对应训练
1.设F是椭圆 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,…),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,…,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .
●参考答案
1.椭圆中：a= , b= , c=1.
∴e = ,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|= (7-xi), 其中右准线x=7.
∵|FPn|=|FP1|+(n-1)d. ∴d= 
∵|x1-xn|≤2 , ∴|d|≤ . 已知n≥21, ∴|d|≤ , 但d≠0.
∴d∈［- ，0)∪(0， ］.
点评：本题有两处陷沟，一是d≠0, 二是可以d<0, 解题时考生切勿疏忽.