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数学三十六计
数学三十六计
由 张浩东 周五 十二月 25, 2009 7:24 pm
第11计 耗子开门 就地打洞
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)= ，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知 =△>0.
故有原式= <0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 （04•天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）= ;P(ξ=1)= ；P (ξ=2)= ， 故ξ的分布列是：
ξ 0 1 2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0× +1× +2× =1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)= .
【例3】 （04•上海，20文）如图
，直线y= x与抛物线y= x2 - 4交于
A、B两点，线段AB的垂直平分线与
直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 = ，y0= x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5 为定值.
设P(x， x2-2)为抛物线上 上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d= ，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4 -4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6 .
∴(S△POQ)max = •|OQ|•dmax= •5 •6 =30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA•tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有： sinα+ sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1= 4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈ ，f (x)= ，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u= 的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵ =
∴tan∠APB= .
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan .
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵ =（4,4,0)， =（-4,4,1）,
∴ • =-16+16+0=0.
即 ⊥ ，也就是 ⊥ . 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取| |=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△AD Q = | |•| |= ]| |•| |.
即：4 •| |= 4×3，∴| |= .
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为 .
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
= .
∴ 成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= - sin + .
当x∈ 时,2x- ，故f (x)为 ，上的减函数,当x= 时,
［f(x)］min = ，当x= 时,［f (x)］max =- .
4.注意到 ，同理： ， ，
∴u≥ =8.
●计名释义
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.
●典例示范
【例1】 已知f (x)= ，判定其单调区间.
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“单调区间”啃出来.
【解答】 设x1
【续解】 [KF（S]3[]1-2x1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x2[KF)]
=
易知 =△>0.
故有原式= <0.
故f (x)= 的增区间为（-∞,+∞).
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.函数的单调法即不等式的比较法.方法基础，可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.
【例2】 （04•天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望；
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）= ;P(ξ=1)= ；P (ξ=2)= ， 故ξ的分布列是：
ξ 0 1 2
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：
Eξ=0× +1× +2× =1.
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)= .
【例3】 （04•上海，20文）如图
，直线y= x与抛物线y= x2 - 4交于
A、B两点，线段AB的垂直平分线与
直线y= -5交于点Q.
(1)求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A、B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.
【解答】 （1）由
设AB中点为M（x0，y0），则x0 = ，y0= x0=1.
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的坐标为(5,-5).
(2)由（1）知|OQ|=5 为定值.
设P(x， x2-2)为抛物线上 上一点，由（1）知x2-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
x+y=0，点P到直线OQ的距离：
d= ，显然d≠0，(否则△POQ不存在)，即x≠4 -4，为使△POQ面积最大只须d最大，当x=8时，dmax =6 .
∴(S△POQ)max = •|OQ|•dmax= •5 •6 =30.
【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，求tanA•tanC的值.
【解答】 如图，有：S△BOC+S△AOB=2S△COA.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有： sinα+ sinγ=sinβ，
即sin2A+sin2C=2sin2B.
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB. 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,cosB= -cos(A+C).
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.
【点评】 本例中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；以下通过圆心角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次转换，这便是一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.
●对应训练
1.在棱长为4的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在
棱CC1上，且CC1= 4CP.
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D1AP上的
射影是H，求证：D1H⊥AP；
（Ⅲ）求点P到平面ABD1的距离. 第1题图
2.证明不等式： (n∈N+).
3.设x∈ ，f (x)= ，求f (x)的最大值与最小值.
4.若x，y，z∈R+，且x+y+z=1，求函数u= 的最小值.
●参考答案
1.建立如图的空间直角坐标系，有：
A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(Ⅰ)连BP，∵AB⊥平面BCC1B1.
∴AB⊥BP，∠APB是直线AP与平面BB1C1C的夹角，∵ =
∴tan∠APB= .
∴AP与平面BB1C1C所成角为arctan .
(Ⅱ)连D1B1，则O∈DB1.
∵ =（4,4,0)， =（-4,4,1）,
∴ • =-16+16+0=0.
即 ⊥ ，也就是 ⊥ . 第1题解图
已知OH⊥面AD1P，∴AP⊥D1O(三垂线定理)
（Ⅲ）在DD1上取| |=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD1于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD1，∵AB⊥面AA1D1D，∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD1，QR之长是Q到平面ABD1的距离，
∵S△AD Q = | |•| |= ]| |•| |.
即：4 •| |= 4×3，∴| |= .
已证PQ∥ABD1，∴点P到平面ABP1的距离为 .
点评：虽是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了若干转换手法.
2.只须证
右式=
=
= .
∴ 成立，从而1+
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= - sin + .
当x∈ 时,2x- ，故f (x)为 ，上的减函数,当x= 时,
［f(x)］min = ，当x= 时,［f (x)］max =- .
4.注意到 ，同理： ， ，
∴u≥ =8.
张浩东- 【解元】
-
帖子数 : 80
威望值 : 280735
生日 : 92-02-27
注册日期 : 09-12-20
年龄 : 32
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班
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