数学三十六计

第12计 小刀开门 切口启封
●计名释义
西餐宴上，摆着漂亮的什锦比萨. 众人虽然都在称好，但没有一人动手. 原来这东西罩在一个透明的“玻璃盒”里，不知从哪儿打开，大家只好故作谦让，互相叫“请”.
一小孩不顾礼节，拿着餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了“玻璃盒”的花纹处，此时盒子竟像莲花一样自动地启开了. 大家惊喜，夸这孩子有见识. 其实，这孩子的成功在他的“敢于一试”，在试试中碰到了盒子的入口.
数学解题何尝没遇上这种情境？我们有时苦心焦虑地寻找破题的入口，其实，自己此时正站在入题的大门口前，只是不敢动手一试.

●典例示范
【例1】 已知5sinβ=sin(2α+β)，求证：
【分析】 题型是条件等式的证明，内容是三角函数的变换.条件和结论都是三角等式，正宗解法（大刀开门），首先考虑的是三角函数及和角变换.能否找到另外的切入口呢？比如说“抛开函数看常数”，我们找到了 这个数，试一试，就打 的主意！
【解答】 化条件为 考察结论的右式 与 的数量关系知 ，那么由合分比定理能使问题获得解决，即
而左端分子、分母分别进行和差化积即为 于是等式成立.
【点评】 这才是真正的“小刀开门”，首先考虑了常数，而常数在函数面前自然是“小玩意”；首先考虑比例变换，比例变换在三角变换的面前也是“小玩意”！数学解题时，在“入口对号”的情况下，小刀比大刀更管用.

【例2】 设m为正整数, 方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x为未知量)至少有一个整数根, 求m的值.
【分析】 若根据求根公式得到x= , 讨论至少有一个整数根相当复杂.如果把常量m(m是一个待求的常量)与变量x相互转化,则解决此问题就简单了.
【解答】 原方程可化为(x2+4x+4)m=2x+7,
即m= ,
【插语】 m是本题的破题小刀，因为所给方程中m的最高次数是1，使得问题简化了.
【续解】 由于x为整数且m为正整数, 则x≠-2且 ≥1,得-3≤x≤1,于是x=-3, -1, 0, 1, 代入原方程求出符合条件的m值为1或5,即m=1或m=5时,原方程至少有一个整数根.
【点评】 有些数学问题中的常量具有特殊性,常常暗示着某种巧妙的解题思路,如能充分挖掘,巧妙转化,便可以将问题轻松解决.

【例3】 设函数f (x)=x2+x+a(a∈R*)满足f (n)<0, 试判断f (n+1)的符号.
【分析】 这道题看似代数题，但如果打开几何的大门，就可以找到条件与结论的联系，思路才会应运而生.
【解答】 因为f (n)<0，所以函数
f (x)=x2+x+a的图像与与x轴有2个
相异交点，如图所示，设横坐标为
x1、x2且x1有2个不等的实根x1、x2，
则
所以-10, 例3题图
于是f (n+1)=(n+1)2 +(n+1)+a>0(a>0).
【点评】 利用数形结合,数形结合是构建解题思路的重要立足点，灵活运用常使解题化难为易，化繁为简.

【例4】 过抛物线y2=2px的顶点O作2条互相垂直的弦OA、OB，求证：直线AB过定点.
【解答】 因为OA⊥OB，所以OA与OB的斜率成负倒数关系.
设OA的斜率为k，将OA的方程：y=kx代入抛物线y2=2px中，求得A点坐标为 ,将OB方程代入抛物线方程求B点坐标时，只有斜率发生变化.因此，以 置换A点坐标中的k, 即得B点坐标为(2pk2, -2pk).
因而lAB：y=
故直线AB过定点(2p, 0).容易验证，斜率k=±1时，结论也成立.
【点评】 找寻对等关系,挖掘命题中元素之间的对等关系，常能找到简洁的解题思路.

【例5】 已知x、y、z∈R, x+y+z=1，求证:x2+y2+z2≥
【解答】 运用均值代换法.令x= , 则α+β+γ=0, 所以
x2+y2+z2=
(当且仅当α=β=γ=0，即x=y=z= 时“=”成立).
【点评】 运用等价代换,运用等价代换作切入点探究解题思路，是中学数学的重要技能.

●对应训练
1.已知M是椭圆 上的动点，椭圆内有一定点A(-2, ), F是椭圆的右焦点，试求|MA|+2|MF|的最小值，并求这时点M的坐标.
2.已知函数f (x)= -ax, 其中a>0. 求a的取值范围，使函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调函数.
3.如图所示，已知梯形
ABCD中|AB|=2|CD|,
点E分有向线段
所成的比为λ，双曲线过
C,D,E三点，且以A，B为
焦点.当 时，求双曲线离心率e的取值范围. 第3题图
4.已知a、b>0,并且a+b=1,求证：
5．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧面ABB1A1的面积为S，侧棱CC1到此面的距离为a，求这个三棱柱的体积.










第5题图


●参考答案
1．解析 挖掘隐含条件的数量关系即可
为简洁解题铺平道路.注意到椭圆的离心率
与结论中线段|MF|的系数之间的数量关系，
作MB垂直于右准线l，垂足为B，
如图所示.则
即|MB|=2|MF|, 所以|MA|+2|MF|=|MA|+|MB|. 第1题解图
易知点M在线段AB上时，|MA|+2|MF|取最小值8，这时点M的坐标为（2 ）.
2.解析 探究a的值，应倒过来思考.
设x1因为 所以
得 . 注意到x1-x2<0, 所以只要a≥1，就有f (x1)-f (x2)>0. 即a≥1时，函数f (x)在区间［0,+∞)上是单调减函数.显然0点评 运用逆向思维,当直接由条件探究结果难以凑效时，那就反过来，由果索因，这是建立解题思路的一个重要策略.
3.解析 很多学生对本题无从下手，然而注意题中图案给予的启示，解题思路的就赫然可见了.
事实上，由图形的对称性，可设直线AB为x轴，AB得中垂线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.
注意到|AB|=2|CD|，设OC= 依题意记A(-c,0)，C , E(x0, y0).
由定比分点坐标公式得
设双曲线方程为 将点C，E坐标代入方程，得 ①
②
将①代入②且用e代入 ，得e2=
又由题设 可知e2∈［7, 10］， 所以离心率e的范围是
点评 挖掘题图信息,从题中图案的启示切入，往往易得解题灵感.
4.解析 容易估计a=b= 时等号成立. 由此可以获得巧妙的证法.
构造
同理
两式相乘
注意到ab≤ 所以 ≥4, 故(a+ )(b+ )≥ (当且仅当a=b= 时取“=”号).从等号成立的条件切入是独具匠心的思考方法.
点评 启用特例联想,从数学命题成立的特殊情形入手，常可找到巧妙的解题思路.
5.解析 将这个三棱柱补成如图所示的平行六面体，可知这个平行六面体的体积等于aS.很明显三棱柱ABC—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1体积相等.所以三棱柱ABC—A1B1C1的体积等于
用这种方法求解一些几何问题，效果十分明显.
点评 看清分分合合,通过分割或整合，将数学问题化为熟悉的结论或易于解决的形式，也是建立解题思路的重要途径.