数学三十六计

第13计 钥匙开门 各归各用
●计名释义
开门的钥匙应有“个性”，如果你的钥匙有“通性”，则将把所有的邻居吓跑.
所有的知识具有个性，一切犯有“相混症”的人，都因没有把握知识的个性.
数学知识的根基是数学定义，它的个性在于，只有它揭示了概念的本质，介定了概念的范畴，在看似模糊的边缘，它能判定是与非.
定义本身蕴含着方法，由“线面垂直的定义直接导出线面垂直的判定定理，由椭圆的定义可直接导出椭圆方程.这里，判定定理也好，方程也好，只不过是其对应的定义在定义之外开设的一个“代办处”，当你的问题本身离定义很近时，何必要跑到遥远的地方去找“代办处”呢？由此，引出了“回归定义”的解题之说.

●典例示范
【例1】 F1、F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|=2c, 椭圆上的点P（x, y)到F1（-c, 0), F2 (c, 0)的距离之和为2a. 求证：|PF1|= |PF2|=
【分析】 一定要搬动椭圆方程吗？这里的已知条件只有c无b，而椭圆方程 却有b无c，搬动椭圆方程肯定是舍近求远.
【解答】 对|PF1| 和 |PF2|用距离公式，结合椭圆的定义得关于|PF1|= r1, |PF2|= r2的方程组
②-③消y2, x2和c2得 r r ④
①，④联立，解得  故|PF1|= |PF2|=
【点评】 快捷，清晰，是因为此题的已知条件靠定义近，而离方程远.

【例2】 设数列{an}的前n项和Sn=1+anlgb, 求使 成立的b的取值范围.
【思考】 应首先分清{an}是什么数列，再根据数列的性质与极限的定义解题.
【解答】 a1=1+a1lgb, 若lgb=0, 即b =1时， a1=S1=1与 矛盾.
∴b≠1,于是a1= 而an=(1+anlgb)-(1+an-1lgb).
∴an(1-lgb)=-an-1lgb, = 为常数，{an}是首项为 公比q= 的无穷递缩等比数列(已知 存在)，∴q= ∈(-1,0)∪(0,1).
由 >-1, 即 >0, 得lgb< 或lgb>1,
又 <0 0由0< <1 ∴b∈(0, 1)] ②
综合①、②，取并集，所求b的取值范围为b∈(0，1)∪(1, ).

【例3】 某商场为了促销，当顾客购买商品的金额达到一定数量之后可通过抽奖的方法获奖，箱中有4只红球和3只白球，当抽到红球时奖励20元的商品，当抽到白球时奖励10元的商品(当顾客通过抽奖的方法确定了获奖商品后，即将小球全部放回箱中).
(1)当顾客购买金额超过500元而少于1000元时，可抽取3个小球，求其中至少有一个红球的概率；
(2)当顾客购买金额超过1000元时，可抽取4个小球，设他所获奖商品的金额为ξ(ξ=50,60
,70,80)元，求ξ的概率分布和期望.
【思考】 解本题不能不清楚与概率统计有关的概念与定义，否则即使知道有
关计算公式也无法准确解题，例如：
(1)随机事件A发生的概率0≤P(A)≤1, 其计算方法为P (A)= , 其中m ，n分别表示
事件A发生的次数和基本事件总数；
(2)不可能同时发生的事件称为互斥事件，由于A与 必有一个发生，故A与 既是互斥事件，又是对立事件，对立事件满足P(A)+P（ ）=1；
(3)离散型随机变量的期望，Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…, 这个概念的实质是加权平均数，期望反映了离散型随机变量的平均水平;
(4)离散型随机变量的方差Dξ=(x1-Eξ)2p1+(x2-Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…，方差反映了离散型随机变量发生的稳定性.
【解答】 (1)基本事件总数n=C =35, 设事件A={任取3球，至少有一个红球}，则事件 ={任取3球，全是白球}.
∵A与 为对立事件，而Card =1(任取3球全是白球仅一种可能).
∴P( )= ,于是P (A)=1-P ( )=
即该顾客任取3球，至少有一个红球的概率为
(2)ξ=50表示所取4球为3白1红(∵3×10+1×20=50),∴P (ξ=50)=
ξ=60表示所取4球为2白2红(∵2×10+2×20=60), ∴P (ξ=60)= 
ξ=70表示所取4球为3红1白(∵3×20+1×10=70), ∴P (ξ=70)=
ξ=80表示所取4球全为红球, ∴P (ξ=80)=
于是ξ的分布列为：
ξ 50 60 70 80
P




∴Dξ=50× +60× +70× +80× = (元).
即该顾客获奖的期望是 ≈63(元).

●对应训练
1M为双曲线 上任意一点， F1为左焦点， 求证:以MF1为直径的圆与圆x2+y2= a2相切.
2求证:以椭圆上任意一点的一条焦半径为直径作圆，这个圆必和以椭圆长轴为直径的圆相
切.
3在离散型随机变量中，证明其期望与方差分别具有性质:
(1)E(aξ+b)=aEξ+b; (2)Dξ=Eξ2 - E 2ξ.
4M为抛物线y2=2px上任意一点，F为焦点，证明以MF为直径的圆必与y轴相切.

●参考答案
1如图所示，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连接PO、MF2,∵|PO|= |MF2|(中位线性质）
∴|PF1| - |PO|= (|MF1| - |MF2|)= •2a= a,
即|PO|= r-a, 故以MF1为直径的圆与圆x2+y2=a2内切.
2如图所示，设M为椭圆上任一点，MF1为焦半径，MF1的中点为P, 设|PF1|= r, 连OP、MF2.
则|OP|= |MF2|= (2a-|MF1|)= a-r
∴以MF1为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切.








第1题解图 第2题解图
3．（1）∵Eξ=x1 p1+x2 p2+…+xn pn,
∴E (aξ+b)= (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axn+b)pn= a (x1 p1+x2 p2+…+xn pn)+b(p1+p2+…+pn)
= aEξ+b (∵p1+p2+…+pn=1).
（2）Dξ=(x1 - Eξ)2•p1+(x2 - Eξ)2p2+…+(xn - Eξ)2pn+…
=（x p1+x p2+…+x pn+…）-2Eξ(x1 p1+x2 p2+…+xn pn+…)+E2ξ(p1+p2+…+pn+…)
=Eξ2-2Eξ•Eξ+E2ξ•1=Eξ2 - E2ξ.
4如图所示，抛物线焦点F ，
准线l:x= ,作MH⊥l于H，FM中点
为P，设圆P的半径|PF|= r，作PQ⊥y
轴于Q，则PQ为梯形MNOF的中位线.
∴|PQ|=
∴以MF为直径的圆与y轴相切. 第4题解图