数学三十六计

第15计 驿站开门 望蜀得陇
●计名释义
一商人要去蜀国做生意，因栈道难行，结果到了陇西. 正当他发愁之时，来了一位远客，把他的货全部买走了. 商人大喜，对伙计们说，这客人说的蜀国话，赶快回关中运货去，我们还是按原计划去南蜀.
等第二批货运到陇西时，又遇上这位客人. 一交谈，他没有把货运往南蜀，而是运往西域去了. 伙计们问商人：我们还是按原计划去南蜀吗？商人笑着说，“我们在这儿望望南蜀就行了.”接着在驿站里把生意做得火红.
数学解题有时也遇上这种情景，原来计划的解题方案，在进行中遇到了一匹黑马，中途变阵之后，成果意外. 这时你不要埋怨原来的计划是错的：不“望蜀”，怎能“得陇”？

●典例示范
【例1】 图中，BC1和DB1分别
是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1
的一条面对角线和体对角线.
试求它们的距离.
【解答】 连A1C1、C1B和BA1.
得边长为 的正三角形A1C1B.
易知，体对角线DB1过△A1C1B 例题图
的中心G. 易得GB=GC1.
再作BC1的中点H. 猜想
GH是DB1和BC1的公垂线，
为此只须证明HG⊥DB1.
易知GB1= ，HB1=
GH= • • 例题解图
因为 所以GH⊥GB1 即GH⊥DB1.
【说明】 此处证GH⊥DB1就是我们的“望蜀”，其实DB1⊥面A1BC1，而GH是面A1BC1中的线段，当然GH⊥DB1，由此我们“得陇”.
【续解】 故HG是BG与DB1的公垂线.且长度 为它们的距离.
【点评】 这两条对角线异面.在不知（或不易作出）它们的公垂线时，属于难题.解题的方法是按“定义”，用垂直相交法作辅助线（面）.

●对应训练
1.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,其中a，b，c是非零平面向量，且a与b不共线，则该方程 （ ）A可能有无数多个实数解 B至多有两个实数解
C至少有一个实数解 D至多有一个实数解
2.空间 （填：“存在”或“不存在”）这样的四个点A、B、C、D，使得AB=CD=8cm，AC=BD=10cm，AD=BC=13cm.
●参考答案
1.D 由于a与b不共线，所以可设c=ma+nb (其中m，n∈R)，代入方程ax2+bx+c=0得ax2+bx+(ma+nb)=0，即（x2+m) a+(x+n) b=0,又a与b不共线，故有
即 显然，当m>0时，原方程无实数解；当n2=-m≥0时， 有一个实数解.故应选D.
【说明】 此题容易简单想象成一元二次方程根的存在性问题，用判别式来判定，导致出现思维定势的错误.对于向量的相关知识的考查在近年来的高考试题中常出现，并且有关向量的题目也在不断地创新，不再是书本知识的简单重复.基于此而创作了此题.
2．要去寻找这样的点是很难叙述的.但我们可以虚拟一些特殊的图形去模拟运动，判断结果.细看题目有四个点，显然可以从四边形旋转所构成的三棱锥模型结构看一下这些长度关系是否合理，来得出需要的结论.
在空间中，分别以8、10、13为边长，
作如图所示平面四边形，它由△ABC和△BCD
组成，公共边为BC=13cm，AC=BD=10cm，
AB=CD=8cm，固定△ABC所在的平面，
令△BCD绕着边BC旋转.显然当D位于 第2题解图
△ABC所在的平面时，AD最大.由BC=13cm，AC=10cm，AB=8cm，可得cos∠BAC=- ,即可知∠BAC是钝角，故对于平行四边形（即D在平面ABC内时）ABDC，对角线AD的长小于对角线BC的长，即AD显然，当点D不在面ABC内时都有AD【点评】 这是一个探索型开放题，其存在与否取决于分析的过程，该题题型无论从结论上还是从方法的探究上都具有一定的开放性，因此我们开始做它时，选定一个方向直奔过去，到那儿时才发现此路不通.