数学三十六计

第16计 摆渡开门 萍水相逢
●计名释义
有道数学题，求证π> . 很多学生不知所措时，却有一学生说此题非常简单，不过需找个第三者. 现在他已经指定了一个第三者，就是整数3.
因为π>3，又3> ，所以π> .
这里的第三者，如同一个渡船，它能把“无关”的两岸经过自己连接起来.这就是数学上的“过渡法”，它是一个“三者牵线，截迂为直”的策略，在不等式中具体表现为传递法.过渡法所用的渡船形式多样，可以是参数，可以是图形，当然也可以是函数、方程、不等式等.
●典例示范
【例1】 已知曲线C ： ，求曲线C关于直线x-y+1=0的对称曲线C1的方程.
【分析】 一般解法为“轨迹转移法”：（1）设P（x, y)是C1上的动点；（2）求出P（x, y)关于直线x-y+1=0的对称点Q（x′, y′)， (3)将Q点坐标代入C的方程；（4）用x，y表示x′，y′，即得C1的方程.
此法甚繁，考虑到这里的对称轴直线的斜率为1，因此可以直接从中得到替换式.
【解答】 由x-y+1=0得 代入C的方程得
即得C1的方程得 
【点评】 对称轴x-y+1=0本为一条参照定位直线，现在拿来充当替代式，成了名符其实第三者“摆渡”.

【例2】 长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：

设AB中点为M(x,y)，那么: ，
有:
∴|AB| 2=(x1-x2)2+(y1-y2)2 =（1+4x2）（x1-x2）2 =（1+4x2）［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2）［4x2-4（2x2-y）］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2)（y-x2)=1所求点M的轨迹方程为：y=x2+
【点评】 本解说明:当直线与曲线相交,若已知弦的长度,而目的是求弦中点的轨迹,可以对其两端的坐标实施“设而不求”.

【例3】 椭圆 (a>b>0)的右准线是x=1，倾斜角为α= 的直线l交椭圆于A、B两点，已知AB的中点为M .
（1）求椭圆的方程；
（2）若P、Q是椭圆上满足|OP|2+|OQ|2= 的两点，求证：|kOP•kOQ|为定值.
【分析】 按常规，应设直线的斜截式方程，并代入椭圆方程，用韦达定理依中点的条件先求直线的截距而后确定椭圆方程.这样也算设而不求，可这种方法计算量仍然太大.
请欣赏如下解法：
【解】 （1）椭圆的右准线为x=1，即 ∴a2=c，b2= a2-c2 = c-c2.
所求椭圆应为： 也就是 (1-c)x2+y2= c（1-c） ①
设弦AB的两端分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:

∵kAB= ，又AB中点为M ，∴x1+x2=-1，y1+y2=
以上全代入②：1= , ∴1-c= ，c= ，代入①： x2+y2=
所求椭圆方程为：2x2+4y2=1.
（2）由（1）知椭圆方程：2x2+4y2=1. 设P、Q的坐标依次为（x1，y1），(x2，y2).
有： ③
∴|OP|2+|OQ|2= , ∴(x +y )+(x +y )= ④
③代入④：x +x + - （x +x ）= ,
∴x +x = .
∵
故|kOP•kOQ|= 为定值.
【点评】 本解的优点是：
1.为确定椭圆方程，须求两个参数a与b，这里先由准线的条件归为只须求一个参数c；
2.无论求椭圆方程或证斜率之积的绝对值为定值，都需要利用弦AB或PQ的端点，这里只是抽象的设定而并不真的去求它，在解题过程中都自然地逐一消失，使“设而不求”的技术达到最佳效果.

【例4】 （05湖北卷21题）设A、B是椭圆3x2+y2=λ上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB的方程;
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
【分析】 （1）已知弦的中点求弦所在直线的方程，故（1）可以实施“设而不求”；（2）判断“四点共圆”的最佳方法,是引入平面几何的相应知识.
【解答】 （1）∵点N（1，3）在椭圆3x2+y2=λ内，
∴3•12+32<λ，即λ>12，∴λ∈（12，+∞）.
设AB两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有：

（1）-（2）：3（x1-x2）（x1+x2）
+（y1-y2）（y1+y2）=0 （3）
∵N(1，3)是线段AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=6. 代入（3）： 例4题解图
6（x1-x2）+6（y1-y2）=0，于是kAB= ，故直线AB的方程为：y-3= -（x-1），即x+y-4=0.
（2）解法1：CD为AB的垂直平分线，且kAB=-1，∴kCD=1，直线CD：y-3=1•（x-1），即x-y+2=0.直线AB的参数方程方程是 ：
∴代入椭圆方程得： ，即2t2+12-λ=0.（由（1）知λ>12），设此方程之二根为tA，tB，则tA•tB = 
直线CD的参数方程方程是：
代入椭圆方程得： ，即2t2-6 t+12-λ=0.
设此方程之二根为tC ，tD ，则tC•tD= 
由（4），（5）知|tA•tB|=|tC•tD|，也就是│AN│•│BN│=│CN│•│DN│，这就是说，存在λ>12，使得A、B、C、D四点总在同一个圆上.
【小结】 按理说,解数学题避免不了“求”,其最终目的（不论是计算题还是证明题）,都是要“求”出最后的结果的.这里说的“不求”,专指可以简化的解题中间过程,用“设”去代替“求”.
从宏观上说,“设而不求”是解析几何解题的基本手段.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度的减少.因此需要做到:（1）凡是不必直接计算就能更简洁的解决问题的,都尽可能实施“设而不求”;（2）“设而不求”不可避免的要设参,消参.而设参的原则是宜少不宜多.（3）“设而不求”的思想还可以应用到三角、立几、代数等数学的其他领域中去,限于篇幅,这里不再多讲.有心的读者,不妨在解题中留心运用.

●对应训练
1.长为2的线段AB在抛物线y=x2上滑动，求AB中点的轨迹方程.
2.求过圆x2+y2-2x=0和直线x+2y-3=0的交点，且和直线x+3y-4=0相切的圆的方程.
3.已知直线y=-x+1与椭圆 (a>b>0)交于A、B两点，且线段AB的中点在直线
l：x-2y=0上.（1）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4
上，求此椭圆的方程.
4.已知 ，(a>0，a≠1，x>0)，判断f (x)的单调性，并证明你的结论.5.如图,已知直线l：x-ny=0（n∈N)，
圆M：(x+1)2+(y+1)2 =1,
抛物线φ：y=(x-1)2，
l交M于A、B，
交φ于C、D，
求 第5题图
●参考答案
1.无须设直线的点斜式解方程组.设A(x1，y1)，B (x2，y2)为抛物线y=x2上两点，那么：

设AB中点为M(x，y)，那么:
有:
∴|AB| 2=（x1-x2）2+（y1-y2）2 =（1+4x2 )（x1-x2)2
=（1+4x2)［（x1+x2)2-4x1x2］
=（1+4x2)［4x2-4（2x2-y)］
已知|AB|=2. ∴（1+4x2）（y-x2）=1 所求点M的轨迹方程为：y=
2.无须求直线与圆的交点.设所求圆的方程为：x2+y2-2x+λ(x+2y-3)=0.
即x2+y2+（λ-2）x+2λy-3λ=0 ①
此圆的圆心为D
半径R=
∵直线x+3y-4=0与圆相切.
∴
化简得：λ2-4λ+4=0,∴λ=2.
代入①：x2+y2+4y-6=0 ②
②即为所求圆的方程.
3.无须先求直线与椭圆交点的坐标.
由
得AB中点为M ,
∵点M在直线x-2y=0上，∴a2=2b2. 即 a2=2(a2-c2)，∴a2=2c2, e=
容易求得F(c,0)关于直线l：x-2y=0的对称点为F′ .
代入x2+y2=4，得 c2 = 4，从而a2=2c2=8，b2=c2=4.
则所求椭圆方程为
4.无须先求函数的解析式.
设logax=t，则x= at，（t∈R).原函数式变形为:f (t)= 或 (x∈R).
∵
这里a≠0，无论a>1或00，故f (x)，从而原函数在其定义域内是增函数.5.无须分别求直线与曲线
的交点再求弦长，
如图，圆心M(-1，-1)到直线
x-ny=0的距离为：
∴|AB| 2=（2 2=
由 第5题解图
设此方程之二根为xC ，xD，则

|CD|2=（xC - xD)2+(yC - yD)2=
于是：