数学三十六计

第18计 转换开门 亦必亦充
●计名释义
转换是化归的实施.化归重在理念，转换重在操作.
转换是寻找“替身”，由彼及此，“彼”得对“此”全盘负责.因此，转换前面经常冠以“等价”二字，即“等价转换”.
从“条件”的角度看问题，转换是在寻找解决问题的充要条件，而化归有时在寻找解决问题的充分条件，甚至是探究中的必要条件.
●典例示范
【例1】 设01.【分析】 n=1时，结果显然.在由k到k+1时，关键在如何利用递推式.
【解答】 （i)n=1时，a1=1+a>1，命题真;
(ii)假设n=k时，命题真，即ak>1. 对n=k+1，欲使ak+1>1，只须ak+1= 
【插语】 因为ak>1，所以 <1，由递推式ak+1= +a推不出ak+1>1来，因此，问题向何处转化，得另寻对象.
递推式中，ak出现在分母上，要得到ak+1成立必须找ak的取值范围.
【续解】 欲使ak+1= +a>1,必须且只须对一切n∈N+, 都有ak< 
【插语】 以下问题转化为用数学归纳法证明1【续解】 （i)n=1,显然有1对于n=k+1，ak+1= +a>(1-a)+a=1. 又ak>1 <1 +a<0+a.
因为1-a2<1 (1+a)(1-a)<1 1+a< 所以 +a<1+a< ，即ak+1<
由（i)(ii)可知，对一切n∈N+，都有1【点评】 证完了吗？证完了.不用证原来的不等式了，因为已经证明原不等式的“等价替身”.

【例2】 在复平面内，复数 对应的点位于 （ ）
A.第一 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】 = .这里 都是负数，故复数 对应的点位于第三象限，选C.
【点评】 本解实施由复数向实数的转换.
【例3】 设f (x)=log3(x+6)的反函数为f -1(x)，若［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=27， 则f(m+n)= .
【解答】 由f (x)=log3(x+6) f -1(x)=3x-6.∴［f -1(m)+6］［f -1(n)+6］=27 3m•3n=33 m+n=3.∴f(m+n)=log3(3+6)=2.
【点评】 本解实施函数与其反函数之间的互相转换.
【例4】 定义在R上的函数f (x)的图象关于点（ ，0）对称，且满足f (x)= -f (x+ )，f (1)=1，f (0)=-2，则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (2006)的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 由f (x)= -f (x+ ) f (x+3)= f［(x+ ）+ ］=-f (x+ )=f (x)知f (x)是最小正周期T=3的周期函数；由f (x)的图象关于点（ ，0）对称，知（x,y）的对称点是（- -x，-y）.也就是若y=f (x)，则必-y=f (- -x)，或y=-f (- -x). 而已知f (x)=-f (x+ )，故f (- -x)= f (x+ ),今以x代x+ ，得f (-x)= f (x)，故知f (x)又是R上的偶函数.于是有：f (1)=f (-1)=1；f (2)= f (2-3)=f (-1)=1；f (3)= f (0+3)= f (0)=-2;
∴f (1)+f (2)+f (3)=0，以下，这个数列每3项之和为0. 而2006=3×668+2，于是f (2006)=0×668+f (1)+f (2)=2，故选A.
【点评】 本解实施的是由繁向简的转换.
【例5】 对于函数f (x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f (x1+x2)= f (x1)•f (x2)；②f (x1• x2) =f (x1)+f (x2)；③ >0；④ < ，当f (x)=lgx时，以上结论中正确结论的序号是 .
【解答】 取x1=10，x2=100， 那么lg(10+100)=lg110，而lg10×lg100=2，知①不成立；lg(10×100)=lg1000=3，而lg10+lg100=1+2=3，知②成立； >0显然成立，③正确；lg =lg55=lg ， ，则④不成立.
综上，只有②③成立.
【点评】 本解实施的是虚实转换.使用特殊值使这种转换更为简洁直观.
●对应训练
1.函数y= (x≠kπ；k∈Z)的值域是 ( )
A.［2 ，+∞） B.（1，2 ］ C.（0，4］ D. ［4，＋∞）
2.若{an}是等差数列，首项a1>0，a2003+a2004>0，a2003•a2004<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是 ( )
A.4005 B.4006 C.4007 D.4008
3.设复数z满足 =i，则|1+z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
4.在棱长为１的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去８个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ( )
A. B. C. D. 
5.若双曲线2x2-y2=k(k>0)的焦点到它相对应的准线的距离是2，则k= ( )
A.1 B.4 C.6 D.8
●参考答案
1.D 令u=sin2x，则02.B ∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003•a2004<0，且{an}为等差数列.
∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数（第一个负数），且|a2003|>|a2004|,
∵在等差数列{an}中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006= >0.
∴使Sn>0成立的最大自然数n是4006.
3.C 利用合分比性质，由 ，解得z=-i， ∴|1+z|=|1-i|= .
4.B 设每个三棱锥的体积为V′，则剩下的凸多面体的体积是
V=1-8 ，V′= ∴V=1-8V′=1- ×8=
5.C 双曲线为 ，a2= ，b2=k，∴c2=a2+b2= ，由条件：c- =2，即 =2. ∴b2=2c，得：k=2• ∴k2=6k，k>0，∴k=6.