数学三十六计

第20计 讨论开门 防漏防重
●计名释义
为什么要讨论？因为对研究的对象不能作统一的结论.既然“统”不了，那就只有“分”.分就是化整为零，以便各个击破.为什么“分”后易“破”呢？因为在“部分”中有了“个性”，这相当于增加了解题的条件.
分类要注意“标准统一”，这将可避免“重”和“漏”，用集合的话说，就是，把全集合分成若干个子集之后，要使:
①两两子集之交为“空”；②所有子集之并为“全”.
分是手段，合为目的，分类讨论完毕之后，要整合出对整个问题的答案.
●典例示范
【例1】 已知a∈R，函数f (x)=x2|x-a|.
(1)当a=2时，求使f (x)=x成立的x的集合；（2）求函数y=f (x)在区间［1，2］上的最小值.
【分析】 (1)只需分两种情况讨论；（2）含参数的讨论问题，一定要把所有情况考虑出来，否则容易丢解.
【解答】 (1)当a=2时，f (x)=x2|x-2|=
当f (x)=x时，即x2(x-2)=x (x≥2)或x2(2-x)=x (x<2)x3-2x2-x=0，x(x2-2x-1)=0,
x1=0(舍去），x2=1- (舍去），x3=1+ .
当x2(2-x)=x时，∴x3-2x2+x=0，x(x2-2x+1)=0，x=0或x=1.
综上所述：a=2时，f (x)=x成立的x的集合为{0，1，1+ }.
(2)f (x)= 若a≤1时，即a<1≤x≤2，f (x)=x3-ax2.
∴f ′(x)=3x2-2ax=0，∴x1=0，x2= a ∵1≤x≤2，∴ a∴x=0或x= a都不在［1，2］内，而x∈［1，2］，
f ′(x)>0，即f (x)在［1，2］内为增函数. ∴f (1)=1-a，f (2)=8-4a. ∴f (x)min=1-a.
若a∈(1，2)，即f (x)=
当1≤x≤a时，f (x)=-3x2+2ax=0，x1=0，x2= a.
若a< 时，1≤x∴f (x)min=-a3+a3=0.
当a≤x≤2时，f ′(x)=3x2-2ax=0，x1=0，x2= a. 当x∈［a，2］，f ′(x)>0.
∴f (x)在［a，2］上为增函数. ∴f (x)min=0.
当a>2时，x∈［1，2］. f (x)=x2(a-x)= ax2-x3.
∴f ′(x)=2ax-3x2=0. ∴x1=0，x2= a
若 < a≤2，f (x)在［1， a］上为增函数. f (1)=a-1，f ( a)= a3- a3= a3.
f (x)在［ a，2］为减函数，f (2)=4a-8.
∴f (x)min为a-1，4a-8中的较小数. 即2 ≤a≤3，f (x)min=a-1 a>3时，x∈［1，2］时，f ′(x)>0∴f (x)min=f (1)=a-1.
综上所述，a≤1时，f (x)min=1-a,
a∈(1，2)时，f(x)min=0, a∈(2， )时，f (x)min= 4a-8;
a∈［ ，3］时，f (x)min=a-1; a∈(3，+∞)时，f （x）min=a-1.
【点评】 本题是对分类讨论的思想考查得非常充分和深入的一道试题.第（1）问中要对x的取值进行讨论，第（2）问中对a的取值进行讨论，而且分了四种情况，可见分类讨论的考查无处不在.
【例2】 设f (x)=g(x)-h(x)，其中g(x)=2x3+ +5，h(x)=(3a+3)x2-12a(1-a)x+ .
(1)若x>0，试运用导数的定义求g′(x);
(2)若a>0，试求定义在区间［0，6］上的函数f (x)的单调递增区间与单调递减区间.
【解答】 （1）g′(x)=  =
= .
(2)由f (x)=g(x)-h (x)=2x3-(3a+3)x2+12a(1-a)x+5得f′(x)=6x2-(6a+6)x+12a(1-a)=6(x-2a)(x-1+a),令f′(x)=0得x=2a或x=1-a.
①当0②当 ≤a<1时，0<1-a≤2a<6，于是函数f (x)在［0，1-a］上单调递增，在［1-a，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；
③当1≤a<3时，1-a≤0<2a<6，于是函数f (x)在［0，2a］上单调递减，在［2a，6］上单调递增；
④当a≥3时，1-a<0<6≤2a，于是函数f (x)在［0，6］上单调递减.
【点评】 本题中对a的划分是关键，最主要的是找出它的分界点.只要有了正确的分类，再进行讨论就不成问题了.
●对应训练
1.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定:当且仅当A1=A2时，(A1，A2)与(A2，A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={a1，a2，a3}的不同分拆种数是
A27 B26 C9 D8
2.若数列{an}的通项公式为an= ，n∈N+，则 等于 （ ）
A  B C D 
3. 如图，已知一条线段AB，
它的两个端点分别在直
二面角α-l-β的两个面内转动，
若AB和平面α、β所成的角分别
为θ1、θ2，试讨论θ1+θ2的范围.
第3题图
●参考答案
1.A 由于A={a1，a2，a3}=A1∪A2，以A1为标准分类.
A1是，则A2={a1，a2，a3}，这种分拆仅一种，即C •C =1;
如A1为单元素集，有C 种可能,对其中每一种，例如A1={a1}，由于必有a1，a3∈A2，且a1∈A2或a1 A2都符合条件. 这种分拆有C •C =6种.
如A1为双元素集，有C 种可能,对其中每一种，不妨设A1={a1，a2}，则必a3∈A2，此外对a1，a2可以不选，选1个或全选，有22=4种选法，这种分拆共有C •4=12种.
若A1为三元素集，则A2可以是{a1，a2，a3}的任何一个子集，故这种分拆有23种. 于是共有1+6+12+8=27种不同的分拆.
2.分析：直接赋值，无法求解，观察题设及欲求式，需对n分奇数、偶数两种情况进行讨论.
解析：根据题意，得an=
∴{a2n-1}是首项为 ，公比为 的等比数列，{a2n}是首项为 ，公比为 的等比数列.
∴
=  故选C.
点悟：解分类讨论问题的一般步骤为：
（1）确定分类讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；
（2）对所讨论的对象进行合理的分类（分类时要做到不重复、不遗漏，标准要统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结：将各类情况总结归纳.
3.分析：由于AB于l的位置关系不定，故需分类讨论.
解：（1）当AB⊥l时，显然θ1+θ2=90°.
（2）当AB与l不垂直时，在平面α内作AC⊥l，垂足为C，连结BC.
∵平面α⊥平面β，∴AC⊥平面β. ∴∠ABC是AB与平面β成的角，即∠ABC=θ2.
在平面β内作BD⊥l，垂足为D，连结AD. 同理可得∠BAD=θ1.
在Rt△BDA和Rt△ACB中，∵BD∵θ1与∠BAC均为锐角，∴θ1<∠BAC. 而∠BAC+θ2=90°，∴0°<θ1+θ2<90°.
（3）若线段AB在直线l上，则θ1+θ2=0°. 综上，可得0°≤θ1+θ2≤90°.
点悟：由于几何问题中各元素的位置关系不定，对于所有可能的情况，必须分开一一进行研究.
