数学三十六计

第22计 数形开门 体美神丰
●计名释义
“有数无形少直观，有形无数入微难”.——这是华罗庚先生讲数形结合的意义.
“凭直观，图上看；想深入，解析出”.——这是专家们谈形与数各自的特征.
“遇式不用愁，请你先画图；看图莫着急，静心来分析”.——这是在讲数形互动.
“图形有形象，记数不易忘；解析有内功，看图静变动”.——这是在讲数形互补.
“观图见形美，初品数学味；想数内涵丰，数学色调浓”.这是美学家对数形的赞赏.
函数有图形——图象，轨迹有图象——图形，三角、几何就更不必说，集合有韦恩图，逻辑有方框图，组合、二项式有杨辉三角，如此等等.
然而，数形结合中的形，仅相对数而言.如几何中最简单的直线，平面等，现实生活中并不存在.
这里的形是数的象征，是精神的直观.现在有人把“函数图象”写成“函数图像”，这是对数形的大误，你怎么不把“想象”写成“想像”呢？
●典例示范
【例1】 若直线y=2a与函数y=|ax-1|（a>0，a≠1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是 .
【解答】 函数y=|ax-1|= ，其图象由y=|ax|（a>0，a≠1）的图象下移一个单位得到.如图，当a>1时，直线y=2a与y=|ax-1|(a>0，a≠1)的图象仅一个交点； 当00，a≠1)的图象有两个公共点，解得a∈(0， ).









例1题解图
【评注】 本题也是有数无形，解法是“图形开门，体美神丰”.
【例2】 当曲线y=1+ 与y=k(x-2)+4有两个相异交点时，
实数k的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【解答】 方程即y=1+ 即x2+(y-1)2= 4 (y≥1)，它表示以（0，1）为圆心，2为半径的上半圆；方程y=k(x-2)+4表示过（2，4）且斜率为k的直线.原题的含义是：当直线与半圆有两个相异交点时，该直线的斜率应在什么范围？
如图，直线MB、MC与半圆切于B、C，
半圆的两端依次为A（-2，1）（2，1）.
显然，线段AB内任意一点与M的连线
与半圆都只一个公共点，
∴kmax=kMA= ，设直线
MC交直线y=1于N，令
∠DMC=∠DMB=α，∠DNM=β，
例2题解图
显然tanα= ，∴tanβ=tan(90°-2α)= cot2α= ，
于是斜率k∈ ，选B.
【反思】 只有准确理解“数”的意义，才能恰当的“图形开门，体美神丰”.
【例3】 设实数(x，y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，则 的最小值是 .
【解答】 圆(x-1)2+(y-1)2=1
的圆心C (1,1)，半径r=1. 如图所示，
此圆在第一象限且与两轴相切，
为求 的最小值. 先求 的最大值.
表示圆上的点（x,y）与定点P（-1，0）连线的斜率. 例3题解图
∴kPA≤ ≤kPB（其中PA、PB为过P所引圆的切线）. 设∠APC=∠CPB=θ，则tanθ= ,
∴tan∠BPA=tan2θ= . ∴ 从而 
【例4】 已知f(x)是定义在（-3，3）上的奇函数，当x∈(0，3)时，f (x)的图像如图所示，那么不等式f (x)•cosx<0的解集是 .
【思考】 将f (x)在（-3，3）内的图像补充完整如图所示.
可知：当x∈(-1，0)∪(1，3)时，f(x)>0，为使f (x)•cosx<0，只须cosx<0，得x∈ ;
当x∈(-3，-1)∪(0，1)时f (x)<0，为使f (x)•cosx<0，只须cosx>0，得x∈ ∪(0,1)
∴f (x)•cosx<0的解集为 ∪(0,1)∪ .







例4题图 例4题解图

【点评】 仅凭图像，无法断定f (x)的解析式，就本题而言，也不必纠缠于此而花费不必要的精力.能断定f (x)的正、负区间即足够解题需要，这即是图形的功能.
●对应训练
1.若不等式x2-log ax<0在(0，0.5)内恒成立，则a的取值范围是 （ ）
A. ≤a<1 B.01
2.P是抛物线y=x2上任意一点，则当P和直线x+y+2=0上的点距离最小时，P与该抛物线的准线距离是 （ ）
A. B. C.1 D.2
3.方程 的实根共有 （ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若方程 =2有实数解，则a的取值范围是 （ ）
A.(-2，0)∪(0， ) B.［-2，0)∪(0， ］
C.(-2， ) D.［-2， ］
5.若关于x的方程2log2(x+a)=1+log2x有且仅有一个实数解，试求实数a的取值范围.
●参考答案
1.A 在同一坐标平面内作y1=x2，y2=log ax的图像，如图，
由题意可知必有0y1在（0，0.5）内恒成立，必须且只需P点在A的右边，而P点与A点重合时，a= ,根据对数曲线随底数的改变而变化的规律得 ≤a<1.









第1题解图 第2题解图

2.B 作出y=x2及x+y+2=0的图像如图所示，设与x+y+2=0平行的抛物线切线为L，由图可知，切点P0到x+y+2=0的距离最小，设P0（x0，y0）,则L方程为y=-x+b与抛物线y＝x2联立得：x0= ，则y0=x = . 所以P0 到抛物线准线y=- 的距离为 .
3.A 设y1= ，
变形得(x-2)2+y =8，∴y1的图像是以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆， 设y2= ，变形得：(x-1)•(y2+1)=1，y2的图像是以直线x=1，y=-1为渐近线的双曲线，如图所示，两曲线仅一个交点，即原方程只有1个实根.







第3题解图 第4题解图

4.A 原方程可变形为lg =lg(x-a)，设y= ，它表示以原点为圆心， 为半径的半圆，如图，设y=x-a(y>0)，它表示斜率为1的射线（不含端点），其中a的几何意义是射线在x轴上的端点，如图所示，当-2≤a< 时，两曲线有交点，又因为x-a≠1，令x=1+a代入方程2-x2-(x-a)2=0，解得a=0或a=-2，所以a≠0且a≠-2，故a∈(-2，0)∪(0， ).
5.解析 ∵原方程
∴原方程有且仅有一个实数解等价于方程x+a= 在x>0时有且仅有一个实数解.
问题转化为直线y=x+a与曲线y= (x>0)在平面直角坐标系中有且仅有一个交点，由图像易得a= 或a≤0.
点评 本题若用代数方法求解比较繁琐，由数向形的转化,使得问题的解决显得形象直观而又简洁明了.