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数学三十六计
数学三十六计
由 张浩东 周五 十二月 25, 2009 7:36 pm
第23计 探索开门 智勇双锋
●计名释义
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.
“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质：大智大勇！
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.●典例示范
【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2
【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.
∵a3a4=a1a6, ∴由
即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an= •2n-1或an= • n-1.
（1）如an= •2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2× =
化简得：22m-7•2m-8=0 2m=8，∴m=3.
（2）如an= • n-1，设存在m∈N,使2•
化简得：4(26-m)2－11•26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在.
综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：
an= •2n-1.
【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.
(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则.
（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当
g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；
②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x> ，而x= 是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x< ，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为 .后者单调区间为 ).
(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a= ，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a= ，b=0，c取任意值即可，如f (x)= x2+1，f (x)= x2+ ，f (x)= x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A B，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ.
(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；
（2）求 的最大值,并求取得最大值的θ的值.
2.如图所示，已知在矩形ABCD中，
AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，
且PA=1.
(1)问BC边上是否存在Q，
便得PQ⊥QD，并说明理由；
（2）若BC边上有且只有一点Q，
使得PQ⊥QD，求这时二面角
Q—PD—A的大小. 第2题图
3.已知椭圆 (a>b>0)的离心率e= ，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为 .
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.
4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：
①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；
②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2 ，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.
●参考答案
1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0， )，
连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，
则|MN|=2|MC|，
∵|O′M|=|O′A|=
∴|MC|= 第1题解图
∴|MN|=2p为定值.
即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.
(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)
∴d1= d2=
∴d +d =4p2+2x ，d1d2=
∴ =
= 4
当且仅当x =2p2，即x0=± p，y0=p时等式成立，此时|O′M′|=|O′N′|= p.
∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.
【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.
∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.
这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.
(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.
当a=2时，只有BC的中点满足条件.
∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.
∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N，连结NQ.
根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.
在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD•sin∠MDN=1× . ∴tan∠MNQ= .
∴二面角Q—PD—A为arctan .
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.
【解答】 （Ⅰ）e= ，∴ ，∴a2=3b2，即a= b.
过A（0,-b），B (a,0)的直线为 .
把a= b代入，即x- y- b=0,
又由已知 ，解得b=1，∴a= .
(Ⅱ)设C(x1，y1)，D（x2，y2）.
由 消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
必须 1+3k2≠0且Δ=（12k）2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ①
要存在k满足①且使 , 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ②
∵y1=kx1+2，y2=kx2+2
∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③
∵x1+x2= ，代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.
∴k= 满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是 .
4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得： .
化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0
将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0
设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则
x1+x2= ，x1x2= ，x0=
即y0=x0+b= +b，代入x+y=0，得b=-2.
从而x1+x2=2，x1•x2= 弦长|AB|=
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.
●计名释义
所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.
“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.
过河人还需要两大素质：大智大勇！
面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.●典例示范
【例1】 如图所示，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1，C1D1，D1，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足
条件 时，就有MN∥平面B1BDD1（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.
【思考】 显然HN∥BD，即得HN∥平面B1BDD1，为使点M在平面EFGH内运动时总有B1BDD1∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B1BDD1，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.
【解答】 连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B1BDD1
例1题图 例1题解图
证明如下：连NH，HF，BD，B1D1，且平面NHF交B1C1于P. 则NH∥BD，HF∥BB1，故平面PNHF∥平面B1BDD1. MN平面PNHF，∴MN∥平面B1BDD1.
【例2】 知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x2)与f (1+2x-x2)满足什么条件时，才能使-2
【解答】 由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.
故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.
∵1-2x2≤1<2，1+2x-x2=-（x-1）2+2≤2 ∴1-2x2∈(-∞,2］，1+2x-x2∈(-∞,2］
当f (1-2x2)< f (1+2x-x2)时， 1-2x2<1+2x-x2
即x2+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2
【解答】 先考虑前两个条件.设等比数列{an}的公比为q.
∵a3a4=a1a6, ∴由
即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为an= •2n-1或an= • n-1.
（1）如an= •2n-1，设存在题设要求的m∈N，则2× =
化简得：22m-7•2m-8=0 2m=8，∴m=3.
（2）如an= • n-1，设存在m∈N,使2•
化简得：4(26-m)2－11•26-m-8=0，这里Δ=112+16×8=249不是完全平方数. ∴符合条件的m不存在.
综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：
an= •2n-1.
【例4】 将二次函数f (x)=ax2+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.
(1)求f (x)=x2+2x+1对应的一次函数g (x). （2）观察后请写出这个对应法则.
（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？
（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.
【思考】 本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整. f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当
g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.
【解答】 (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.
（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；
②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.
(3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x> ，而x= 是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x< ，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为 .后者单调区间为 ).
(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).
(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a= ，b=0. 只须在f (x)=ax2+bx+c中，命a= ，b=0，c取任意值即可，如f (x)= x2+1，f (x)= x2+ ，f (x)= x2+5.
【小结】 指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若A B，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.
●对应训练
1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，∠MAN=θ.
(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；
（2）求 的最大值,并求取得最大值的θ的值.
2.如图所示，已知在矩形ABCD中，
AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，
且PA=1.
(1)问BC边上是否存在Q，
便得PQ⊥QD，并说明理由；
（2）若BC边上有且只有一点Q，
使得PQ⊥QD，求这时二面角
Q—PD—A的大小. 第2题图
3.已知椭圆 (a>b>0)的离心率e= ，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为 .
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.
4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：
①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；
②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2 ，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.
●参考答案
1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x0， )，
连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，
则|MN|=2|MC|，
∵|O′M|=|O′A|=
∴|MC|= 第1题解图
∴|MN|=2p为定值.
即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.
(2)如图所示，有M（x0-p，0），N(x0+p，0)
∴d1= d2=
∴d +d =4p2+2x ，d1d2=
∴ =
= 4
当且仅当x =2p2，即x0=± p，y0=p时等式成立，此时|O′M′|=|O′N′|= p.
∴∠MO′N=90°， ∴△MO′N为等腰直角三角形. ∴θ= 45°.
2.【思考】 这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.
【解答】 （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.
∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.
这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.
(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.
当a=2时，只有BC的中点满足条件.
∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.
∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.过M作MN⊥PD于N，连结NQ.
根据三垂线定理有，QN⊥PD. ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.
在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD•sin∠MDN=1× . ∴tan∠MNQ= .
∴二面角Q—PD—A为arctan .
3.【思考】 第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.
【解答】 （Ⅰ）e= ，∴ ，∴a2=3b2，即a= b.
过A（0,-b），B (a,0)的直线为 .
把a= b代入，即x- y- b=0,
又由已知 ，解得b=1，∴a= .
(Ⅱ)设C(x1，y1)，D（x2，y2）.
由 消去y， 得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
必须 1+3k2≠0且Δ=（12k）2-36(1+3k2)>0 ∴k<-1或k>1 ①
要存在k满足①且使 , 即x1x2+x1+x2+1+y1y2=0. ②
∵y1=kx1+2，y2=kx2+2
∴②式即为(1+k2)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0 ③
∵x1+x2= ，代入③得9k2+9-24k2-12k+5+15k2=0.
∴k= 满足①式.∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是 .
4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得： .
化简为：(e2-1)x2-y2-2e2x+e2=0
将弦所在直线y=x+b代入得：(e2-2)x2-2(b+e2)x+e2-b2=0
设弦AB的两端点A(x1，y1)B (x2，y2)，AB中点M（x0，y0）则
x1+x2= ，x1x2= ，x0=
即y0=x0+b= +b，代入x+y=0，得b=-2.
从而x1+x2=2，x1•x2= 弦长|AB|=
解得e=2符合题意,
所以存在双曲线方程：3x2-y2-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.
张浩东- 【解元】
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威望值 : 271285
生日 : 92-02-27
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年龄 : 32
地点 : 宣化科技职业学院附属高中09-2班
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