数学三十六计

第24计 杠杆开门 以轻拨重
●计名释义
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.
支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，……，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！
●典例示范
【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.
【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A，B处各放1个质点，则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1个质点，中点M处有2个质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM.
至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？
【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即VO=3OG.
因此，正四面体的外半径R= h=3.
故正四面体体积为 πR3=36π.
【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.

【例2】 直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的
斜率是 （ ）
A. B.-3 C. D.3
【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0）左移3个单位，上移1个单位得M（-3，1）.
于是k+l=kOM= .选A.
【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.
【例3】 （04•上海卷）若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转 得到，则f (x)= ( )
A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋转90°得B（-1，9），代入各选项，仅A适合，∴选A.
【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？
【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF= ，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）









例4题图

A. B.5 C.6 D.

【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE.
∵VF—ADE= •EF•S△ADE= ×3×2= .
VF—ABCD= •DE•S□ABCD= •2•32=6.∴V多面体= +6= .选D.
【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？ 
●对应训练
1.动点A在双曲线 =1上，B、C为双曲线的左、右焦点，△ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则tan cot 的值是 （ ）
A. B. C. D.1
2.已知0A.log a(xy)<0 B.02
3.设{an}是公比为a,首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的n∈N+，点（Sn，
Sn+1） ( )
A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上
4.函数y=x+sin |x|,x∈［-π,π］的大致图像是 （ ）








第4题图

●参考答案
1.A 取特殊图形.BC=10 双曲线
焦点为B（-5,0）,C(5,0)
c-b=6 2m=6,
∴m=3,n=4，双曲线方程为： =1,
离心率e= .
取特殊位置AC⊥BC，则有A ,
∴AC= ,从而AB= ,
cos B= ,sin B= ，而C＝90°. 第1题解图
∴tan cot = •cot 45°= .
2.D 取特殊值.x= ,y= ,a= ,满足0则log a(xy)=log =5.否定A、B、C.
3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn= =2n-1.各选项依次为：
A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1
取点（S2，S3）=(3，7)，代入各选项，仅D适合.
4.C 取图形上的特殊点.令x=- ，则y=- +1，点 应位于直线y=x上方，排除A、B、D.