数学三十六计

第25计 函数开门 以静显动
●计名释义
函数把运动学带进了数学.函数本身讲的是数的互动，而静则是运动过程中的某一即时状态.动以静为参照，没有参照物的运动是没有意义的，同样没有“静数”的函数也无意义.当变量（动数）的个数较多时，我们先考虑一对互动中的变数，而把其他变数暂视静止（常数或参数），例如，考虑二次函数y=ax2+bx+c时，是把x,y看作一对互动的变数，而把a,b,c看作“静数”.其实，a,b,c也在变化，只是要等到需要考虑它们的变化时再把它们视作变数.●典例示范
【例1】 设双曲线 与直线x+y=1相交于两个不同的点A和B，求双曲线离心率的取值范围.
【分析】 求取值范围就是求离心率e的值域.为此，我们要寻求e的函数式.
【解答】 按双曲线离心率的关系式，有 
【插语】 公式e= 本来是“静式”，现在让其运动起来，成了函数式f (a).启发我们求函数e=f (a)的定义域，即a的取值范围.
【续解】 由双曲线与直线相交于两点，得方程组
【插语】 我们并非要从这个方程中解得x和y的值，而是要由“方程组有2个解”的条件求出a2的取值范围.
【续解】 消y后整理得

函数e=f (a)= 在（0，1）和（1， ）上都是减函数，故有f (a)> 且f (a)≠ .即所求范围是 .
【点评】 函数解题，动静相依，动静互控，从而实现由简单函数与复合函数的互动，以及函数与方程，函数与不等式的互动.
【附录】 以下我们用函数性质讨论a2的取值范围.

由方程组解得：a2=h(x)= .由于 ≠0,所以a2≠1.因为 ，所以a2≤2.
由于相交的两点A、B对应着不同的x值，因此a2到x的对应是1对2，因此在h (x)中x2,由此得到a2≠2. 故有a2<2.
【例2】 解方程(x+6)2003+x2003+2x+6=0.
【解答】 将原方程变形得(x+6)2003+(x+6)=(-x)2003+(-x).
由方程的特点，我们构造函数f x)=x2003+x，知f (x)是x∈R上的单调递增函数，又f (x+6)= f (-x),故x+6=-x，即x=-3.
【点评】 此题从方程的特点入手，利用函数思想，构造了函数f (x)=x2003+x，把解方程的问题变为讨论函数的性质的问题，巧妙地求出了方程的解.

【例3】 在xOy平面上给定一曲线y2-2x=0.
(Ⅰ)设点A的坐标为( ,0)，曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|.
(Ⅱ)设点A的坐标为(a,0)，a∈R，曲线上点到点A的距离的最小值.
【解答】 (Ⅰ)设P(x,y)为曲线上任意一点，y2=2x(x≥0),
|PA|2= ，
∴当x=0时，|PA|取得最小值 .
(Ⅱ)设P(x,y)为曲线上任意一点,同理有 |PA|2=(x-a)2+y2=［x-(a-1)］2+(2a-1)(x≥0),
①当a≥1时，在x=a-1≥0处，|PA|取得最小值 .
②当a<0时，在x=0处，|PA|取得最小值 
【点评】 解题方向是建立目标函数，然后转化为以a为自变量的二次函数在闭区间上的最值问题.

【例4】 某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126平方米的厂房，工程条件：①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用是 元；③拆去1米旧墙,用所得材料建1米新墙的费用为 元.经过讨论有两种方案：
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形厂房一面的边长；
（2）矩形厂房利用旧墙的一面边长为x≥14.问如何利用旧墙，即x为多少米时，建墙费用最省？（1）、（2）两种方案哪个更好？
【分析】 通过分析已知条件比较容易想到用函数模型来解此题.以建墙费用为目标函数，再通过讨论函数的最小值来解决问题.
【解答】 设利用旧墙的一面边长为x米，则矩形的另一面边长为 米.
（1）利用旧墙的一段x米（x<14）为矩形一面边长，则修旧墙的费用为 元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为 元，其余建新墙的费用为: 元，
故总费用为:
y=
得: 所以，
当且仅当 即x=12∈(0，14)米时，ymin=35a
(2)若利用旧墙一面矩形边长x≥14，则修旧墙的费用为 元，建新墙的费用为 元，故总费用为：
即 
∵ 但由于x= 时，x= <14，x［14,+∞)，因此均值不等式此处失灵.
以下用求导法解决问题：
∵y′=2a（1- ）. ∴x> 时，y′>0，而14> .
故x∈［14,+∞）时函数y单调增.
∴x=14时，ymin= 
综上所述，采用方案（1），利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙的总费用最省，费用为35a元.

【点评】 函数应用题真正的难点在于处理其中的最值问题.这也就是函数的“玄机”所在.处理最值的手段很多，有利用均值不等式；利用函数的单调性；利用导函数；利用三角函数的有界性等.其中“导函数法”有通用、快捷的特点，应是掌握的重点.

●对应训练
1.设a、b、c∈R，且它们的绝对值都不大于1，求证ab+bc+ca+1≥0.
2.直线m:y=kx+1和双曲线x2-y2=1在左支交于A，B两点,直线l过P(-2,0)和AB线段的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围.
3.某工厂2005年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a，b，c为常数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.

●参考答案
1.分析 构造函数f (a)=ab+bc+ca+1，f (a)是关于a的一次函数，由于a∈［-1,1］，只要证明f (1)≥0且f (-1)≥0，即可证明f (a)≥0.
证明 设f (a)=(b+c)a+bc+1，f (a)是关于a的一次函数.
∵a、b、c∈［-1,1］, ∴f (1)=b+c+bc+1=b(1+c)+(c+1)=(b+1)(c+1)≥0
f (-1)=-(b+c)+bc+1=b(c-1)+(1-c)=(1-b)(1-c)≥0.
∴f (a)在［-1,1］上恒为非负，即f (a)≥0. ∴ab+bc+ca+1≥0.
点评 本题解法的关键在于要具有函数意识，能结合式子结构特征构造出一次函数f (a)，从而由一次函数的图象及性质，使问题得以解决.
2.解析 由 消去y得(k2-1)x2+2kx+2=0,
由题意得 解得1设M(x0，y0)，则 
由P(-2,0)，M ，Q(0,b)三点共线可求得b= .
设f (k)=-2k2+k+2，则f (k)在(1, )上为减函数.
∴ ，且f(k)≠0.
∴ ∴b<-(2+ )或b>2.
点评 通过建立b与k的函数关系式，借用函数的单调性，将问题转化为函数的值域以确定.


3.思考 根据题意，该产品的月产量y是月份x的函数，可供选用的函数有两种.其中哪一种函数确定的4月份该产品的产量愈接近于1.37万件，哪种函数作为模拟函数就较好，故应先确定出这两个函数的具体解析式.
设y1=f (x)=px2+qx+r(p，q，r为常数，且p≠0)，y2=g(x)=abx+c.
据已知，得 
解得p=-0.05，q=0.35，r=0.7;
a=-0.8，b=0.5，c=1.4 ∴f (x)=-0.05x2+0.35x+0.7;
g(x)=-0.8×0.5x+1.4. ∴f (4)=1.3，g(4)=1.35,
显然g(4)更接近于1.37，故选用y=0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好.
点评 用待定系数法确定两种模拟函数的解析式是解答本题的关键.