数学三十六计

第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：
1.公式多，变换多，技巧多；
2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；
3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.
●典例示范
【例1】 设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是 （ ）
A.-2 B. C.-3 D. 
【解答】 a2+2b2=6 =1. 设 (θ∈［0，2π］)，则
a+b= cosθ+ sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ= ，sinφ= ，∴a+b≥-3，选C.
【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.
【例2】 已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是 .
【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见；
由条件y2=3x- x2.
∴x2+y2=x2+ x2+3x= (x-3)2+ .
∴当且仅当x=3时，（x2+y2）max = .你能发现这种解法有什么毛病吗？
先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.
显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是:
∵y2=3x- x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈［0,2］，而x2+y2= (x-3)2+ .
令z= (x-3)2+ ，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，
zmax = (2-3)2+ = 4，即(x2+y2)max= 4.
【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：
(x-1)2+ y2=1.
设 ，则
x2+y2=(1+cosθ)2+ sin2θ= cos2θ+2cosθ+ (cosθ-2)2+ .
由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x2+y2)max = + =4.
此时，x=2，y=0.
【例3】 设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A
、B两点，求AB中点的轨迹方程.
【解答】 抛物线y2=4px的准线为x= -p，交x轴于M(-p,0),
设过M的直线参数方程为： (t为参数)代入y2=4px：
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)
方程(1)有相异二实根的条件是：
1,
设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2= 
设AB之中点为Q(x,y)， ∵t= .
∴ ，消去θ得：y2=2p(x+p),
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p)(|y|>2p).
【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.
但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式： 
其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.
【例4】 两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于
A、C、D、B,且AC=DB，过A，B
的切线交于E，求证： .
【思考】 本例是平面几何题吗?
不是，谁要试图仅用平几知识证明，
肯定难以成功，但若引入三角，则不然.
【解答】 作两圆直径AF，BG，连
CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,
那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,
已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ， 例4题图
,
△EAB中，由正弦定理： ∴ .
【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米. 在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD. A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？
【分析】 求的是C、D建的地方，
为了将问题简化，暂不考虑车站D，
设法求出从A经过C到B′所需最短时间.
【解答】 ∵AC= A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于 ， ， 为常数，问题转化为求y= 的最小值.
∵y′= ，令y′=0,得 时，sinA<1.
sinA< 时，y′<0,sinA> 时，y′>0.
故函数y，从而函数t当sinA= 时，取得极小值：
∵sinA= ，∴A′C=mtanA= ，即车站C距A′为 千米，它与l的长短无关.
同理，站D距B′为 千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ< π)之二根为α,β，求使等比数列1, ，…前100项之和为零的θ值.
2设实数对(x,y)满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求 的最小值.
3已知圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上，当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长.
4△ABC中，已知三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.
(Ⅰ)证明任意交换A、B、C位置y的值不变；
（Ⅱ）求y的最大值.
5.一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市A与B分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A与B. 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?
●参考答案
1由条件： ,
∴ ，即等比数列的公比q=2sinθ，∴S100= .
已知S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,sinθ= ,
∵θ∈(π， π), ∴θ= π.
2圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为C(1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求 的最小值，先求 的最大值.
如图， 表示圆上的点(x,y)与
定点P(-1,0)连线的斜率,PA，PB为
圆C的切线，则 ，连PC,
设∠BPC=∠APC=θ，则tanθ= , 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ= , 即 ，从而 .
3如图所示，有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程为x2+y2=1，∴设P(cosθ，sinθ)为
圆上一点，不妨设P在第一象限，
则有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ,Rt△PAB中∠PBA= ,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin =2sin ，
l=2+2cosθ+4sin =2+2(1-2sin2 )+4sin =5-4(sin )2, 第3题解图
当且仅当sin = ，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，lmax=5，此时
点P的坐标为 .
4(Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］
=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.
(Ⅱ)y=2-［cos C cos (A-B)］2 + cos2(A-B),为求y的最大值必须［cosC cos (A-B)］2取得最小而 cos2(A-B)取得最大.
∵［cosC cos (A-B) 2≥0，且 cos+(A-B)≤ 当且仅当 时以上两条同时成立.
∴ymax = ，此时 故△ABC为正三角形.
5.解法一:如图所示，设OM=x km，则AM= -x，BM= . 总修建费
S=2（ -x）+4 
=2 + +x+3( -x)
=2 +（ +x）+ ≥2 +2 
由 +x= ,得当x= 时，
S取最小值2 +2 ，此时，
AM≈3.3，BM≈1.2.
故当先沿岸铺设3.3 km地下电缆，
再铺设1.2 km水下电缆连通A与B时， 第5题解图
总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.
解法二：如图所示，设∠OBM=α(0<αAM=AO-MO= -tanα，总修建费S=2 -tanα)+ =2 +
设t= ，则sinα+tcosα=2 ∴ sin(α+φ)=
由 及t>0，得t≥ ， ∴ S≥2 +2 
将t= 代入sinα+tcosα=2，解得α=
∵ 0< 故Smin =2×３．３＋４×１．２＝１１．４.