数学三十六计

第29计 向量开门 数形与共
●计名释义
非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.
向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.

●典例示范
【例1】 α,β为锐角，且sinα-sinβ= ,cosα-cosβ= ，求tan(α-β)之值.
【解答】 如图，设A(cosα,sinα),
B(cosβ,sinβ)为单位圆上两点，
由条件知：0<α<β< .
那么：
=（cosα- cosβ,sinα- sinβ）
= .
∴| |= ，| |=| |=1. 例1题解图
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) = .
∴sin(α-β)= ,tan(α-β)= .
【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量
模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.
【例2】 设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤ 
【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|•|n|=
∵m•n=|m|•ncos（m,n）≤|m|•|n|. ∴ac+bd≤ .
【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几
何中又能起作用吗?

【例3】 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC1之长为 .
【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事?
向量的数量积公式可以保驾护航.
对！走向量法解题的道路.
【解答】 如图所示，
∴ 
=

=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6
∴| |= . 例2题解图
【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是| |2= 的运用奇妙.注意： 与 所成角等于 与 所成角，是60°而不是120°.
●对应训练
1如图,在棱长为a的正方体
ABCD—A′B′C′D′中，E、F
分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.
(Ⅰ)求证： ；
(Ⅱ)当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，
求二面角B′—EF—B的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图
2已知a,b∈R+，且a≠b，求证：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).
3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明△ABC的垂心也在该双曲线上.
●参考答案
1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设 =x,则有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴ =(x,-a,-a)， =(-a,a-x,-a).
∵ • =(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，
∴ ⊥ .
(2)VB′—BEF= S△EEF•| |= • (a-x)•x•a
= a(a-x)•x≤ a• ，
当且仅当a-x=a，即x= 时,
(VB′—BEF)max = ，
此时E、F分别为AB,BC的中点,必EF⊥BD.
设垂足为M，连B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1题图
由三垂线定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,
设为θ,∵| |= ∴tanθ= .
即θ=arctan2 ，则二面角B′—EF—B的大小为arctan2 .
2设m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m•n≤|m|•|n|.
∴a3+b3≤ ，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).
3如图,设A(x1, )，B(x2, ),
C(x3， )，△ABC的垂心为H(x0，y0),
则 ,
, 第3题解图
∵ ,∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0- • .
∵x1≠x2，∴x0-x3 .
∴x0+ (1)
同理：x0+ .
∴x2-x1=y0 .
∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0- =x3 =0,
∴x0y0=1，即H(x0，y0)在双曲线xy=1上.