数学三十六计

第30计 统计开门 存异求同
●计名释义
甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统.
甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.
甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.
甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!
●典例示范
【例1】 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2．2 3．8 5．5 6．5 7．0
若由资料可知y对x呈线性相关关系.试求：
（1）线性回归方程；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
【分析】 本题告诉了y与x间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.
注：设所求的直线方程为 =bx+a，其中a、b是待定系数．

相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析.
解：（1）列表如下：　
i 1 2 3 4 5
xi 2 3 4 5 6
yi 2.2 3．8 5．5 6．5 7．0
xiyi 4．4 11．4 22．0 32．5 42．0
x
4 9 16 25 36


于是b= ，
a= 0.08. ∴线性回归方程为： =bx+a=1.23x+0.08.
（2）当x=10时， =1.23×10+0.08=12.38（万元）
即估计使用10年时维修费用是12.38万元.
【点评】 本题若没有告诉我们y与x间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.

【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求：
（1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率；
（2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.
【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次（事件A是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.
【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A，则P（A）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.
(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A恰好发生2次.
∴P3(2) =C (0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.
(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P3（2）+P3(3)=0.441+C 0.73=0.784.
【点评】 用独立重复试验的概率公式Pn(k)=C •Pk•(1-p)n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A发生的概率P；③利用公式计算在n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率.
【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.
(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望;
(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.
【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.
【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 2 3
P




甲答对试题数ξ的数学期望.
Eξ=0× +1× +2× +3× = 
(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则
P(A)= P(B)=
因为事件A、B相互独立,
方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为

∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P=1-P（ ）=1- 
方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
P=P(A• )+P（ •B）+P(A•B)=P(A)P( )+P( )•P(B)+P(A)P(B)= × + × + × = 
【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.
●对应训练
1.在袋里装30个小球，其彩球中有n(n≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是 ，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.
2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)
3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？
4.为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据：
广告费用（千元） 1．0 4．0 6．0 10．0 14．0
销售额 （千元） 19．0 44．0 40．0 52．0 53．0
现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）.●参考答案
1.取3个小球的方法数为C =4060.
设“3个小球全是红球”为事件A，“3个小球全是蓝球”为事件B，“3个小球全是黄球”为事件C，则P(B)= ，P(C)= .
∵A、B、C为互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).
即 =P(A)+ + P(A)=0.∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n=2.
记“3个小球至少有一个是红球”为事件D，则 为“3个小球没有一个红球”.
P(D)=1-P( )=1 .
2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元);
②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.
③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）
④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400×0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元)综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.
3.设公共汽车门的设计高度为x cm，由题意，需使P（ξ≥x）＜1%.
∵ξ～N（173，72），∴P（ξ≤x）=Φ（ ）＞0.99.
查表得 ＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.
点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.
4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程 =bx+a，令 =6，得x=1.5万元.
答案：1.5万元
点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.