数学三十六计

第31计 解几开门 轨迹遥控
●计名释义
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e= . (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.
【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为P（1-2a,2）.椭圆中心为(1-a,2)，左准线为y轴.∴ -a=0，而e= . ∴ =2，有-3a+1=0，a= . 得点P1( ,2)；如M（1，2）为左顶点，有P2（1，2），∴P1P2中点为（ ，2）.
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′( ,2)的椭圆.
【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，
∵e= ，且左准线为y轴, ∴ =0,
得a=x，c= = ，有：F ，由椭圆第二定义： = e= .
∴ ，化简得： ①
(2)椭圆①的长半轴a′= ，∴- ≤x- ≤ ，得x∈ .
原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈ .故原椭圆长轴最大值为2，最小值为 .
【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，其中F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，2）在双曲线上，（1）求点F2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.
【思考】 F1（1，0）为定点，∴|AF1|=2 =|BF1|为定值，设F2(x，y)，则|F2A|-2 =±(F2B-2 ).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4 ，知动点F2的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A、B为焦点的椭圆.
【解答】 （1）点F2的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆 .(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.
此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.
化简得：m2-2m-11=0,∴m=1±2 .
【小结】 探求轨迹，一要注意
其完备性也就是充分性：只要符合
条件的点都适合轨迹方程；二要
注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图
以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.
●对应训练
1.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6,0），另一个焦点F2为动点.
(1)求双曲线中心的轨迹方程;
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点P的轨迹方程.
3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F1（6，0），另一个焦点F2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.
4.已知抛物线C：y2=4x，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ|的最小值.
●参考答案
1.设F2(x0，y0), ∵O(0,0)在双曲线上,
∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6,
∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②
当O、F1、F2共线时，F1、F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）设双曲线中心为M（x，y）,则
③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x≠7)
③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x≠5)
(2)∵a=1，∴e= = c，且c=|MF1|= ,
如M的轨迹为(x-3)2+y2=16， 则c=
∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7
当x=-1时，cmax=7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，cmax=5,
于是取c=7，a=1，∴b2=48，又当x=-1时，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F1(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2- =1.
2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴，
过O且垂直于OA的直线为y轴建立
如图的直角坐标系，设A（a,0），则有
直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+
设P(x,y)，∵d= ，
∴x= d cos (θ+ )= ( cosθ- sinθ) 第2题解图
= (1- tanθ),
y=dsin(θ+ )= ( sinθ+ cosθ)= (tanθ+ ).
于是得点P的参数方程： （θ为参数） 消去参数得：x+ y=2a.
3.(1)设F2(x0，y0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，则x20+y20=64 ①；如|OF2|=4，则x20+y20=16 ②，当O，F1，F2共线时，F1，F2应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.
设双曲线中心为O′(x，y)，则 ③
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64, 即 (x-3)2+y2=16 (x≠7).
③代入②：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5).
(2)∵a=1，∴e= = c，且c=|MF1|= ,
如M的轨迹为（x-3）2+y2=16,
则c= .
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,
当x= -1时，cmax =7.
如M的轨迹为(x-3)2+y2=4，则c= .
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，cmax =5.
于是取c=7，a=1. ∴b2=48，又当x= -1时，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F1（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)2 =1.
4.（1）如图设椭圆中心为O′(x0,0)，
由于左焦点F（1，0），左准线x= -1，
∴x0=c+1，且x0+1= .
∴a2=c(x0-1)=x20-1，
b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2，
得椭圆短轴端点B（x0， ）. 第4（1）题解图
设FB的中点为P(x，y)，则：
消去x0：y2=x-1(x≥1).
(2)曲线y2=x-1(x≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F（1，0）.
显然当m≤1时，|MQ| min=1-m，即点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R为半径的圆的方程为：(x-m)2+y2=R2.(*)
由 x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.
命Δ≥0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0, ∴R2≤ . (1)
当m≥ 时，R min= ， 即|MQ|的最小值为 .
当1注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04•1～2期P72，63题，原题答案为：
当 ≤1，即m≤ 时，|MQ|无最小值；当 >1，即m> 时，|MQ| min= .笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.