数学三十六计

第33计 导数开门 腾龙起凤
●计名释义
导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.
近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.
●典例示范
【例1】 （2005年北京卷）过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.
【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=（ex）′.
设切点为(x0，e )，y′=ex，yx= x =e . 则切线方程为y-e =e (x-x0),
∵切线过（0，0）点，0－e =e (0-x0)，∴x0=1，∴e =e,∴切点坐标为（1，e),切线斜率为e.
【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.
【例2】 若函数f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在区间( ，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 
【解答】 B 设u=x3-ax，则u′=3x2-a.
当a>1时，f (x)在 上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在 上恒成立.又0<3x2< ，∴a≤0，这与a>1矛盾.
当03x2在 上恒成立，
∴a≥ 且（- ）3 -a (- )>0，即a> ,故有 ≤a<1,故正确答案为B.
【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.
【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.
【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.
令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.
即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).
从而有下表：
x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
fˊ(x) + 0 - 0 +
f (x) f (x1)为极大值 f (x2)为极小值

即此时f (x)有两个极值点.
(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.
故当x0；当x>x2时，f′(x)>0.因此f (x)无极值.
(3)当Δ<0，即00，f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x)无极值点.
【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.
●对应训练
1.已知函数f (x)= 的图象在点M（-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.
(1)求函数y=f (x)的解析式； （2）求函数y=f (x)的单调区间.
2.已知函数f (x)= ，x∈［0，1］.
(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域；
（Ⅱ）设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若对于任意x1∈［0,1］，总存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.
3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.
(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f (x)在［－1，1］上是单调函数，求a的取值范围.
●参考答案
1.分析：由已知导出f (-1)=-2，结合f′(-1)= - ，易求出a、b的值.
解析:(1)由函数f (x)的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= - .
∵f′(x)= ，∴

即 
解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）.所以所求的函数解析式是f (x)= .
(2)f′(x)= .令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2 ，x2=3+2 ，当x<3-2 ，或x>3+2 时，f′(x)<0;
当3-2 0. 所以f (x)= 在(-∞，3-2 内是减函数；
在（3-2 ，3+2 )内是增函数； 在（3＋2 ，+∞)内是减函数.
点评：本题主要考查函数的单调性，导数的应用等知识，考查运用数学知识分析、解决问题的能力.
2.解析：(Ⅰ)对函数f (x)求导,得f′(x)= ，
令f′(x)=0解得x= 或x= .
当x变化时，f′(x)、f (x)的变化情况如下表：
x 0 （0， ）

（ ，1）
1
fˊ(x) + - 0 + -
f(x)
-4 -3
所以，当x∈(0， )时，f (x)是减函数；
当x∈( ，1)时，f (x)是增函数；
当x∈［0,1］时，f (x)的值域为［－4，－3］.
(Ⅱ)对函数g (x)求导，得g′(x)=3(x2-a2).
因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<3(1-a2)≤0.
因此当x∈(0,1)时，g (x)为减函数，从而当x∈［0,1］时有g(x)∈［g(1)，g(0)］.
又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即当x∈［0,1］时有g (x)∈［1-2a-3a2，-2a］.
任给x1∈［0，1］，f (x1)∈［-4,-3］,存在x0∈［0，1］使得g(x0)= f (x1)，则
［1-2a-3a2，-2a］ ［-4,-3］.
即
解①式得a≥1或a≤- ； 解②式得a≤ .
又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤ .
点评：本小题主要考查函数的单调性、值域、集合的包含关系、解不等式基础知识，以及逻辑思维能力、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.
3.分析：（Ⅰ)利用导数的性质解决问题.
(Ⅱ)利用函数f (x)在［－1，1］上是单调函数的充要条件是x2≥1.(x=x2时f (x)取到极小值）
解：(Ⅰ)对函数f (x)，求导数，得：f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=［x2+2x(1-a)x-2a］ex，令
f′(x)=0，得［x2+2(1-a)x-2a］ex=0，从而x2+2(1-a)x-2a=0.
解得x1=a-1- ，x2=a-1+ ，其中x1当x变化时，f′(x)、f (x)的变化如下表
x （-∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
fˊ(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
即f (x)在x=x1处取到极大值，在x=x2处取到极小值. 当a≥0时，x1<-1，x2≥0，f (x)在（x1，x2)为减函数，在(x2,+∞)为增函数，而当x<0时，f (x)=x(x-2a)ex>0，当x=0时，f (x)=0.
所以当x=a-1+ 时，f (x)取得最小值.
(Ⅱ)当a≥0时，f (x)在［－1，1］上为单调函数的充要条件是x2≥1，即a-1+ ≥1,解得：a≥ ，综上，f(x)在［－1，1］上为单调函数的充分必要条件为a≥ ，即a的取值范围是［ ，+∞).
点评：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力.复合函数求导是解决极值问题、单调问题的常用方法.