数学三十六计

第34计 参数开门 宾主谦恭
●计名释义
参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.
在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.
有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.
●典例示范
【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+ =1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知 与 共线， 与 共线，且 • ＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.
幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.
【解答】 如图，由条件知MN和PQ
是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），
且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条
存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.
【插语】 题设中没有这个k，
因此是“无中生有”式的参数.
我们其所以看中它，是认定它
不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图
【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则
x1= ，
从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 亦即|PQ|= .
【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)= 标志着主宾易位，问题已经发生了转程.
【续解】 (ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为- ，同上可推得，
｜MN｜= ,
故四边形S＝ |PQ|•|MN|= .
令u=k2+ ，得S= .
因为u=k2+ ≥2，当k=±1时，u=2，S= ，且S是以u为自变量的增函数，所以
≤S<2.
【插语】 以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.
【续解】 (ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2 ，|PQ|= ，S= |PQ|•|MN|=2.
综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为 .
【点评】 参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.
【例2】 对于a∈［-1,1］,求使不等式 恒成立的x的取值范围.
【分析】 本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.
【解答】 y= 为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立.
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).
只须 (-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】 求函数y= 的最大值与最小值.
【解答一】 设tan =t，则y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①
∵t=tan ∈R, ∴关于t的方程①必有实数根, ∴ Δ= 4-4•3(y-3)(y-1)≥0.
即3y2-12y+8≤0，解得：2- ≤y≤2+ .
即ymax =2+ ，ymin =2- .
【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3， sin (x+φ)=2y-3.
∵ |sin (x+φ)|≤1，∴ ≤|2y-3|.
平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)
【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,
按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或
通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理
由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围.
【解答】 反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,
如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R.
如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.
∴2m> 2-
∵ (1-sinθ)+ ≥2 .
当且仅当1- sinθ= ，即sinθ=1- 时， =2 ,
∴ =2-2 .
为使2m> 恒成立,只需2m>2-2 ，∴m>1- .
综合得：所求m的取值范围为：m∈(1- ，+∞).
【例5】 已知动点P为双曲线 =1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为 .
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且 =λ ，求实数λ的取值范围.
【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆，
当P在椭圆上时，由cos∠F1PF2= <0，
知∠F1PF2必为钝角且为最大角，
则P应为短轴端点(须证明),据此可
求出椭圆方程.
(2)M、N在椭⊙上, =λ 时,
 与 必共线,可用设参、消参 例5题图
的方式确定λ的范围.
【解答】 (1)设P(x,y)为轨迹上一点，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a为定值，且
F1( ,0)，F2( ，0)为定点.
∴点P的轨迹为椭圆，已知(cos∠F1PF2)min= .
而cos∠F1PF2= ，这里 >0，且r1r2≤ =a2，∴ ≥ ，从而
cos∠F1PF2≥ -1=1- ,
当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1- = ，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4.
∴所求动点P的轨迹方程为： =1.
(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.
∵ =λ ，即(m，s-3)=λ(n，t-3),
∴ ∴ 
消去n2得： 
化简得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)
如λ=1，则 = ，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.
如λ≠1，有：t= ，∵|t|≤2，-2≤ ≤2，解得λ∈［ ，5］.
【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.
【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.
所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.
●对应训练
1.求使A= 为整数的一切实数x.
2.已知方程组 同解，求m、n的值.
3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.
4.已知正项数列{an}中，a1=1，且Sn= ，求该数列的通项.
5.解方程x3+(1+ )x2-2=0.
●参考答案
1.反客为主，让x为A服务.
∵A-1= 当A∈Z时，亦有A-1∈Z.
若x+1=0，则A=1∈Z(x= -1).
若x+1≠0，有：A-1= ∈Z.这有两种可能.
(1) =±1. x2-4x+2=0，x=2± ；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.
(2) 是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1，得x=1或2.
故所求实数为x=-1，1，2，2± .相应的整数为A=1，3，4，2.
2.设两方程组的相同解为(x0，y0).

由
代入 .
3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：
a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2
a=(x2-3x-1)±(x-1)
有x2-2x-2-a=0 ① 或x2-4x-a=0 ②
由①：（x-1）2 = a+3.
当a≥-3时，x=1± .
由②：(x-2)2=a+4.
当a≥-4时，x=2± . 故a<-4时，原方程无实根；
a∈［-4,-3)时原方程有两解：x=2± ；a∈［-3，+∞)时，原方程有四解：
x=1± ，x=2± .
4.反客为主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+ ，得：
2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.
∴S2n - S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用叠加法可得S2n - S21=n-1.
∴Sn= ,得an=Sn - Sn-1= ，于是an= .
5.设a= ，原方程转化为：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,
∴x2+x=a或x= -a,
∵a= .
∴x2+x- =0 x= ± 或x=- .

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